Dérivation, parabole et normale

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farator
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Dérivation, parabole et normale

Message par farator »

Bonjour à tous!

Soit une fonction $h(x)=x²-4x+5$

$M$ désignant un point de la courbe représentative $H$ d'une fonction dérivable $h$, on appelle normale à $H$ en $M$ la droite passant par $M$ et perpendiculaire à la tangente à $H$ au point $M$.

Montrer qu'il existe un unique point de $H$ en lequel la normale passe par $O$ (origine du repère): donner une valeur approchée de l'abscisse de ce point.


J'ai essayé d'utiliser la relation: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coef directeur = -1
$h'(x)=2x-4$
donc coef dir de la tangente en $m$ = $2m-4$
coef directeur de la normale = $\dfrac{y_m-y_0}{x_m-x_0} = \dfrac{m²-4m+5}{m}$
Mais après l'équation $\dfrac{m²-4m+5}{m}(2m-4)=-1$ ne me donne pas de résultats concluants
Merci de m'aider!

[Edit Arnaud : LaTeX, merci de faire un effort pour la lisibilité]

kojak
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Re: dérivation, parabole et normale

Message par kojak »

farator a écrit :J'ai essayé d'utiliser la relation: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coef directeur = -1
h'(x)=2x-4
donc coef dir de la tangente en m = 2m-4
Correct...
farator a écrit :coef directeur de la normale = (ym-y0)/(xm-x0) = (m²-4m+5)/m
ca s'est le coeff directeur de la droite $(OM)$ et non la normale...

Utilise le fait que le produit des coefficients directeur est égal à $-1$ comme tu l'as dit...

farator
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la normale est la droite (OM)

Message par farator »

Je ne comprends pas car la normale à la tangente en M est perpendiculaire à cette tangente et passe par M...
Ainsi (OM) = normale

kojak
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Message par kojak »

Tu vas trop vite...
Tout d'abord, tu cherches une équation de ta normale grâce au coefficient directeur, et seulement ensuite, tu écriras qu'elle doit passer par le point origine $O$.... Car le but, c'est de déterminer combien il existe de point sur la parabole dont la normale passe par l'origine...
Pigé :shock:

farator
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ok compris, mais apres???

Message par farator »

Tm a pour coef dir 2m-4
Nm a pour coef dir -1/(2m-4)=> y=-x/(2m-4)+b
m²-4m+5 = -m/(2m-4)+b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = 0
m²-4m+5+(m/(2m-4) = 0
(((m²-4m+5)(2m-4))/2m-4)+((m(2m-4))/(2m-4)=0
On résout ensuite (m²-4m+5)(2m-4)+(2m-4)m=0
2m^3-4m²-8m²+16m+10m-20+2m²-4m = 0
2m^3-10m²+23m-20 = 0

Et comment on fait pour résoudre ça???

Arnaud
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Message par Arnaud »

[Edit Arnaud : LaTeX, merci de faire un effort pour la lisibilité]
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

kojak
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Re: ok compris, mais apres???

Message par kojak »

farator a écrit :Tm a pour coef dir 2m-4
Nm a pour coef dir -1/(2m-4)=> y=-x/(2m-4)+b
m²-4m+5 = -m/(2m-4)+b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = 0
m²-4m+5+(m/(2m-4) = 0
jusque là , correct...;
farator a écrit :(((m²-4m+5)(2m-4))/2m-4)+((m(2m-4))/(2m-4)=0
là problème...
En code Latex $\dfrac{(m^2-4m+5)(2m-4)}{2m-4}+\dfrac{m}{2m-4}=0$... Je ne sais ce que tu as fait quand tu as réduis au même dénominateur...

Ensuite, tu développes et réduis comme t'avais fait précédemment, et tu vas bien obtenir une équation de degré 3.... On te demande une valeur approchée et donc tu dois avoir une calculatrice que tu devrais savoir utiliser...

farator
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Message par farator »

Merci de me mettre ces liens
Vont-ils m'aider pour l'exercice?

kojak
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Message par kojak »

farator a écrit :Merci de me mettre ces liens
Vont-ils m'aider pour l'exercice?
Que signifie ceci ? :roll:

farator
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Oui je me suis trompé

Message par farator »

Cela donne finalement
2m^3-12m²+27m-20 = 0
Et je ne vois pas comment on peut résoudre cette équation de degré3.
Ma calculette est une viellie casion 25 et n'a même pas de résolution d'équation (sauf du 2nd degré que j'ai fabriqué)

kojak
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Message par kojak »

Ok, correct...
Ben tu traces la courbe de la fonction $f(x)=2x^3-12x^2+27x-20$ avec une bonne fenetre et tu regardes graphiquement la ou les solutions de $f(x)=0$... et tu lis une valeur approchée...

farator
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Message par farator »

A ben oui Je trouve m environ = 1.2
Ca pourrait bien etre ca non?

kojak
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Message par kojak »

Fais un zoom ou agrandis ta fenetre ou sinon fais une table, car ta valeur n'est pas terrible....