[Licence] Ensembles

[Kazik]

Bonsoir,

j'ai un petit souci avec cette exercice :

Soient $\rm E$ un ensemble et $\rm Y$, $\rm Z$ deux sous-ensembles non vides de $\rm E$. L'objectif est l'étude de la fonction suivante :

<center>$\rm f:\mathcal{P}(E)\rightarrow\mathcal{P}(Y) \times \mathcal{P}(Z)$ tq $A\rightarrow(A\cap Y,A\cap Z)$</center>

-> Montrer que $\rm f$ est injective si et seuleument si $\rm Y\cup Z=E$

merci d'avance.

[MB]

1) On suppose que $f$ est injective.

On peut raisonner par l'absurde et supposer que $Y \cap Z \neq E$. Il existe donc $x \in E$ tel que $x \not\in Y$ et $x \not\in Z$. On a alors clairement $f(\{x\}) = f(\emptyset)$ et $f$ n'est pas injective. D'où la contradiction.

2) On suppose que $Y \cup Z = E$.

On considère deux ensembles $A$ et $B$ tels que $f(A)=f(B)$. On a donc $A \cap Y = B \cap Y$ et $A \cap Z = B \cap Z$. On a alors :

<center>$\begin{array}{lcl}
A & = & A \cap E \\
& = & A \cap (Y \cap E) \\
& = & (A \cap Y) \cup (A \cap Z) \\
& = & (B \cap Y) \cup (B \cap Z) \\
& = & B \cap (Y \cap E) \\
& = & B \cap E \\
& = & B
\end{array}$</center>

Donc $f$ est injective.

[Kazik]

Bonsoir,

je ne saisi pas pourquoi $\rm A=A\cap E$ ?

[MB]

je ne saisi pas pourquoi $\rm A=A\cap E$ ?

Parce que $A$ est inclu dans $E$.

[Kazik]

En fait je ne saisi pas le sens de votre phrase ...

On considère deux ensembles $A$ et $B$ tels que $f(A)=f(B)$. On a donc $A \cap Y = B \cap Y$ et $A \cap Z = B \cap Z$. On a alors :

<center>$\begin{array}{lcl}
A & = & A \cap E \\
& = & A \cap (Y \cap E) \\
& = & (A \cap Y) \cup (A \cap Z) \\
& = & (B \cap Y) \cup (B \cap Z) \\
& = & B \cap (Y \cap E) \\
& = & B \cap E \\
& = & B
\end{array}$</center>

Y'a t il un lien quelconque ?

[MB]

Y'a t il un lien quelconque ?

Oui, il y a un lien, puisque je considère deux ensembles $A$ et $B$ tels que $f(A)=f(B)$ et je montre que $A=B$.

[Kazik]

Juste quelques question encore :

- Il fallait aussi prouver l'existence de $\rm f$
- On suggerer de montrer une double implication

Pouvez m'en dire plus ?
merci encore :)

[MB]

- Il fallait aussi prouver l'existence de $\rm f$

C'est assez évident.

- On suggerer de montrer une double implication

Pour quelle question ?

[Invité]

C'est assez évident.

moi j'ai du mal :(

Pour quelle question ?

la meme question

[MB]

Bon pour montrer que $f$ est bien définie, je ne vois même pas comment l'expliquer tellement cela me paraît clair. On peut peut être dire que comme $Y$ et $Z$ sont deux sous-ensembles de $E$ l'intersection avec un autre sous-ensemble de $E$ est bien définie.

En ce qui concerne la double inclusion, on doit pouvoir le faire pour le 2) mais c'est plus long à mon avis.

[Tryphon]

Je ne vois pas non plus pourquoi il faudrait expliquer l'existence de $f$. Ce genre de question a un sens lorsque la définition de $f$ pourrait donner plusieurs valeurs possibles pour l'image d'un élément. Ce n'est pas le cas ici, la formule est non ambigüe.

[Kazik]

Oui mais c'est pas moi qui fait les énoncés !

Sinon je bloque sur quelque chose dans la suite de cette exercice :

> montrer que $f$ surjective si et seuleument si $Y\cap Z= \emptyset$.
> si $f$ est bijective determiner son application reciproque.

merci encore.

[Edit: MB] L'ensemble vide se note \emptyset.

Ok merci je croyais que c'etait \empty ...

[MB]

> montrer que $f$ surjective si et seuleument si $Y\cap Z= \emptyset$.

Bon, alors c'est toujours le même type de raisonnement :

1) Supposer que $f$ est bien surjective et montrer (par l'absurde) que $Y\cap Z= \emptyset$.

Pour cela, on suppose que $Y\cap Z \neq \emptyset$ et on considère un élément $x \in Y\cap Z$. On montre alors que l'élément $(\{x\}, \emptyset)$ ne peut pas être atteind et que $f$ n'est donc pas surjective.

2) On suppose que $Y\cap Z= \emptyset$ et on montre que $f$ est surjective.

Pour cela, on considère deux ensembles $Y' \in \mc{P}(Y)$ et $Z' \in \mc{P}(Z)$. On montre alors en considérant $A = Y' \cup Z'$ que $f(A) =(Y',Z')$ et donc que $f$ est sujective. Il faut être méfiant lorsque l'on montre que $f(A) =(Y',Z')$ car cela peut paraître relativement évident, mais il faut utiliser que $Y\cap Z= \emptyset$.

[MB]

> si $f$ est bijective determiner son application reciproque.

Je pense que l'application réciproque ne peut qu'être $g$ définie par $g(A,B)=A \cup B$.