[1ère S] Propriété sur les compositions de fonctions

[Exdanrale]

Je dois terminer la démonstration d'une propriété, ci-dessous la dite propriété ainsi que la 1ère partie de la preuve. Par contre je ne sais pas comment afficher des vecteurs ni le symbole "appartient ". :?

Propriété : Soit $u$ une fonction de courbe représentative $C_u$ dans un repère $(0;\vec{i};\vec{j})$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=u(x-a)$. Alors la courbe représentative $C_f$ de $f$ se déduit de $C_u$ par une translation de vecteur $a\vec{i}$.

Preuve : Soit $M$ un point de $C_f$. On veut montrer qu'il existe un point de $C_u$ dont $M$ est l'image par la translation de vecteur $a\vec{i}$.

Soit $M(x;f(x))$. On sait que pour tout $x \in D_f$ on a $f(x) = u(x-a)$ par définition. Donc $M(x;u(x-a))$.
Soit $M'(x-a;u(x-a))$. $M'$ est un point de $C_u$. On a alors vecteur $\overrightarrow{M'M}(x-(x-a);u(x-a)-u(x-a))$ donc vecteur $\overrightarrow{M'M}(a;0)$ et vecteur $\overrightarrow{M'M} = a\vec{i} (+0 \vec{j})$.

$M'$ se déduit donc de $M$ par une translation de vecteur $a\vec{i}$.

- Il faut encore montrer que pour tout point $N'$ de $C_u$ par la translation de vecteur $a\vec{i}$ est un point $N$ de $C_f$ (c'est là que je pêche).


Merci d'avance.

[Edit: MB] Code Latex.

[MB]

- Il faut encore montrer que pour tout point $N'$ de $C_u$ par la translation de vecteur $a\vec{i}$ est un point $N$ de $C_f$ (c'est là que je pêche).

C'est pas plutôt $-a\vec{i}$ ?

Sinon, tu peux constater que $u(x) = f(x+a) = f(x-(-a))$ pour ne pas avoir à tout refaire.

[Exdanrale]

- Il faut encore montrer que pour tout point $N'$ de $C_u$ par la translation de vecteur $a\vec{i}$ est un point $N$ de $C_f$ (c'est là que je pêche).

C'est pas plutôt $-a\vec{i}$ ?

Sinon, tu peux constater que $u(x) = f(x+a) = f(x-(-a))$ pour ne pas avoir à tout refaire.

Cette partie c'est le prof qui nous l'a donnée pour nous aiguiller, j'espère donc que c'est vrai :p !
Pour ce que tu me demandes de constater, je vois pas en quoi ça m'aide, désolé de mon ignorance

[MB]

J'ai pas bien regardé ta preuve, mais je crois que tu as commencé par montrer que tout point de $C_f$ est envoyé sur un point de $C_u$ par la translation de vecteur $a\vec{i}$. Dans la seconde partie, tu souhaites montrer que tout point de $C_u$ est envoyé sur un point de $C_f$ par la translation de vecteur $-a\vec{i}$ (je persiste au niveau du $-$). C'est bien l'objectif ?

Pour la seconde partie je propose donc d'échanger les rôles de $f$ et de $u$ pour pouvoir conclure directement.

[Exdanrale]

Ok je pense avoir tout compris :p
En fait c'était pas si dur :?
Merci à toi pour ton aide rapide et efficace :)