Norme au carré

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lat_ex
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Norme au carré

Message par lat_ex »

Bonjour,
Soit ($X$, $\| \cdot\|$) un espace de Banach séparable. Soit $(x_n)_n$ une suite dense dans la sphère unité de X (i.e. dense dans {$x$ $\in$ $X$ tq $\|x\|$=1})
Soit $f$ $\in$ $X'$ (le dual de $X$).
Soit la norme $||| \cdot |||$ dans $X'$ défini de la façon suivante:

$$||| f|||^2 = \|f\|^2+ \sum (2^{-i}f^2(x_i))$$

Je n'arrive pas à vérifier que c'est bien une norme.
J'essaye d'utiliser la définition "traditionnelle" de la norme mais j'ai un problème pour l'inégalité triangulaire.
Y a-t-il un mautre moyen de montrer que c'est bien une norme? Pouvez-vous m'aider?
Merci

Arnaud
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Message par Arnaud »

Il n'y a pas d'autre hypothèse sur $f$ ?

Si $f$ n'est pas continue, on ne peut pas définir sa norme.

Si elle est continue, cela simplifie un peu les choses.
Arnaud
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bibi6
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Message par bibi6 »

Hmmm, juste ce que je viens de définir ce matin: "espace de Banach séparable".
Je suppose que la somme porte sur tous les $i \in \N$...
Alors il y a aussi un problème de convention: confirmes-tu que $X' = \{ f: X \rightarrow \R | f \text{est linéaire continue}\}$?
(en tout cas, moi, il est défini comme ça...)

lat_ex
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Message par lat_ex »

Arnaud a écrit :Il n'y a pas d'autre hypothèse sur $f$ ?

Si $f$ n'est pas continue, on ne peut pas définir sa norme.

Si elle est continue, cela simplifie un peu les choses.
oui, effectivement, $f$ est continue . J'utilise la même convention que bibi6.
Excusez-moi, je n'ai pas précisé.
Je ne savais pas qu'il y avait plusieurs manières de définir l'espace dual.

kilébo
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Message par kilébo »

Pour info, il existe le dual algébrique (où la notion de continuité n'intervient pas) et la notion de dual topologique (où les formes linéaires sont supposées continues).

Selon le contexte, si cela n'est pas précisé, on retrouve souvent de quel dual on parle (en algèbre, le premier, en analyse, le second).

Une confusion peut, par contre, intervenir lors de lecture de documents étrangers où le dual topologique est noté $E^*$ par les anglo-saxons alors que cette notation correspond à notre dual algébrique en France.

lat_ex
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Message par lat_ex »

Je suppose que la somme porte sur tous les $i \in \N$...
oui.

Et merci pour l'info Kilebo

Tryphon
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Message par Tryphon »

En général, on note $E^*$ le dual algébrique et $E'$ le dual topologique, il me semble...

kilébo
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Message par kilébo »

Tryphon a écrit :En général, on note $E^*$ le dual algébrique et $E'$ le dual topologique, il me semble...
Oui, c'est ce que je disais et je faisais remarquer que les anglo-saxons utilisait une autre convention qui pouvait porter à confusion ($E^*$ est le dual topologique chez eux).
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.

lat_ex
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Message par lat_ex »

Arnaud a écrit :Il n'y a pas d'autre hypothèse sur $f$ ?

Si $f$ n'est pas continue, on ne peut pas définir sa norme.

Si elle est continue, cela simplifie un peu les choses.
$f$ est continue. Vois-tu comment on peut démontrer que c'est bien une norme dans ce cas? Merci

Arnaud
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Message par Arnaud »

Ma première réaction en voyant ton exercice était la question de la continuité, pour que le tout soit bien défini, mais je n'ai pas réfléchi à l'inégalité triangulaire.

L'inégalité est claire pour $||f+g||$, donc il suffit de voir pour la somme.

La notation $f^2$ signifie telle $(f)^2$ ou $f \circ f$ ? ( j'aime vraiment pas ces notations... ).
Arnaud
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lat_ex
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Message par lat_ex »

Arnaud a écrit : La notation $f^2$ signifie telle $(f)^2$ ou $f \circ f$ ? ( j'aime vraiment pas ces notations... ).
oui, c'est vrai que la notation n'est pas géniale, je n'y ai pas pensé en composant le message.
Et j'avou qu'en lisant ton message,sur le coup , j'ai eu un doute...
Bref, dans la somme c'est $(f(x_i))^2$

bibi6
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Message par bibi6 »

Ici pas d'ambiguïté possible!
$f: X \rightarrow \R$, donc $f^2$ élève clairement le résultat de $f$ au carré! (à moins que, comme par hasard, le Banach $X$, c'est $\R$...)
Et puis, il faut faire gaffe à ce qu'on peut se permettre -- je pense au terme croisé (je parie que sinon, on est mal pour la majoration!)

$$|||f+g||| ?\leq ? |||f||| + |||g|||\\
|||f+g|||^2 ?\leq ? (|||f||| + |||g|||)^2 = |||f|||^2 + |||g|||^2 + 2|||f|||.|||g|||$$

Je pense qu'il faut triturer cette dernière inégalité (avec la définition de $|||.|||^2$).

Arnaud
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Message par Arnaud »

bibi6 a écrit :Ici pas d'ambiguïté possible!
$f: X \rightarrow \R$, donc $f^2$ élève clairement le résultat de $f$ au carré! (à moins que, comme par hasard, le Banach $X$, c'est $\R$...)
Ha oui, bien vu, mais le cas particulier ( bien qu'étonnant ) est possible.

Pourquoi mettre la dernière inégalité au carré ?
Il suffirait de voir ce qui se passe pour la somme ( qui converge bien et tout ).
Arnaud
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Message par lat_ex »

Arnaud a écrit : Pourquoi mettre la dernière inégalité au carré ?
Il suffirait de voir ce qui se passe pour la somme ( qui converge bien et tout ).
je ne comprend pas...
C'est pas |||$f+g$|||$^2$ $\leq$ |||$f$|||$^2$+|||$g$|||$^2$+2|||$f$|||.|||$g$||| qu'il faut montrer?

Arnaud
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Message par Arnaud »

Regarde le post de bibi6 :wink:
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lat_ex
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Message par lat_ex »

oui, je vous ai lu tous les deux mais justement, j'ai pas compris...

Arnaud
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Message par Arnaud »

Il faut montrer que $$|||f+g||| \le |||f|||+|||g|||$$
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lat_ex
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Re: Norme au carré

Message par lat_ex »

Je dois donc montrer ceci : $$\sqrt{\|f+g\|^2+ \sum (2^{-i}(f+g)^2(x_i))}
\leq \sqrt{\|f\|^2+ \sum (2^{-i}f^2(x_i))}+ \sqrt{\|g\|^2+ \sum (2^{-i}g^2(x_i))}$$
puisque $$||| f|||^2 = \|f\|^2+ \sum (2^{-i}f^2(x_i))$$
J'ai déjà essayé ça mais je narrive pas à bien majorer.
Ca me ramène au même problème non? Travailler avec les racines carrés c'est embétant, donc j''élève les membres au carré et je trouve que je dois montrer :
$$|||f+g|||^2 \leq |||f|||^2 + |||g|||^2 + 2 |||f|||. |||g||| $$

Arnaud
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Message par Arnaud »

Oui, c'est ce qu'a dit bibi6 :wink:
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bibi6
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Message par bibi6 »

Exactement! L'idée est qu'on a la définition de la norme "au carré" -- donc autant en profiter :wink:

Et en plus on aura des termes qui vont disparaître: il y a moyen de faire apparaître à partir du $1^{er}$ membre, les deux termes $|||f|||^2$ et $|||g|||^2$. Reste à voir que ce qui en reste peut être majoré par $2|||f|||.|||g|||$...

Un problème qu'on résoudra en 2007! Meilleurs voeux à tous!