Norme au carré

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Re: Norme au carré

Message par lat_ex »

$$
|||f+g|||^2 &=& \|f+g\|^2+ \sum (2^{-i}(f+g)^2(x_i)) \\
\\
&=& \|f\|^2+\|g\|^2+2\|f\|\|g\| + \sum(2^{-i}f^2(x_i))+\sum(2^{-i}g^2(x_i))+\sum(2^{-i}2f(x_i)g(x_i))\\
\\ &=& |||f|||^2+|||g|||^2+2. \bigg( \|f\|\|g\| +\sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i) \big) \bigg)
$$

reste à montrer que
$$\|f\|\|g\| +\sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq |||f|||. |||g||| $$
:?:



Bonne année à tous! :xmas:

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

Attention car le passage à la deuxième ligne ( ou deuxième égalité ) est faux :

$$||f+g||^2 \ne (||f||+||g||)^2$$
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

oui c'est $$||f+g||^2 \leq (||f||+||g||)^2$$

mais ensuite le problème reste le même

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

As-tu écris à quoi correspond
$$|||f|||. |||g|||$$ ?
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

c'est: $$|||f|||.|||g||| &=& \sqrt{\|f\|^2+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)}. \sqrt{\|g\|^2+\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}\\
&=& \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$
On doit donc montrer :
$$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

Oui, continue !
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

je vois pas, c'est là que je bloque dans l'inégalité...

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

Compare les termes de gauche et ce qu'il y a sous la racine, et demande toi si le produit de la somme est aussi la somme des produits.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

c'est ça?
$$ \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) ? \leq ? \sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)} $$
je ne vois pas ...

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

N'oublie pas la racine.

Déjà tu "vois" le terme $||f|| \times ||g||$ de chaque côté.
Il faut essayer de vois si ce que tu écris ( avec la racine évidemment ) est une égalité ou une inégalité.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

$$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq \sqrt { \bigg( \|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \bigg)^2}$$
(égalité si le membre de gauche est positif)


$$\sqrt { \bigg( \|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \bigg)^2} = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$

$$?\leq? ?=?\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$ça ressemble mais c'est pas la même chose?

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

Pourquoi tu mets un "inférieur ou égal" dans la première ligne ?

Effectivement il y a des similitudes et des différences, d'où la question : "comparer".
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

Je met inférieur ou égal dans la ces où $$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)$$ est négatif. C'est pas possible?

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

J'ai fait ça je ne sais pas si ça peu m'aider :

$$\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$

$$ = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$

$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$

$$= \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$

$$\leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\|f\|\sum\big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)\bigg(\|g\|\sum\big(2^{-i}f(x_i)\big)\bigg)}$$

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

Tu ne peux pas faire apparaitre des carrés comme ça, car tu ne sais pas si ces normes sont ou non supérieures à 1.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

Tu dis ceci pour :$$ = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$

$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
?
J'ai juste majorer $g(x_i)$ par $\|g\|$. Puisque $g(x_i)$ $\leq$ $\|g\|$ $\|x_i\|$ et $\|x_i\|$ =1. Je ne peux pas?

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

Oups, mal lu :oops:

Oui dans ce cas c'est correct.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

lat_ex
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 152
Inscription : vendredi 24 novembre 2006, 10:41

Message par lat_ex »

Arnaud a écrit :Oups, mal lu :oops:

Oui dans ce cas c'est correct.
mais malgrè ça, je n'arrive pas à la solution, est-ce que tu as une idée stp? Est-ce que je suis sur la bonne piste? merci

Arnaud
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message par Arnaud »

Bon j'ai dû tout réécrire, car je me perdais dans les notations.
Démontrer l'inégalité triangulaire revient donc à démontrer ( si je ne me suis pas trompé ) :

$$\|f\|\|g\|+\sum\dfrac{f(x_i)g(x_i)}{2^{i}} \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}+\|g\|^2\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}+\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}.\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}}$$

Les deux termes sont clairement majorés par $3||f|| \times ||g||$, mais je n'arrive pas à trouver de majoration plus fine pour le terme de gauche.

Là je n'ai pas d'idée supplémentaire à apporter, peut-être qu'à tête reposée... :?
Dernière modification par Arnaud le mercredi 03 janvier 2007, 20:23, modifié 1 fois.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

bibi6
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 461
Inscription : jeudi 23 novembre 2006, 20:12
Statut actuel : Enseignant
Localisation : 59 (Région St Amand les Eaux)

Message par bibi6 »

lat_ex a écrit :c'est ça?
$$ \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) ? \leq ? \sqrt{\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}} $$
je ne vois pas ...
Vu comme ça, ça me fait penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Peut-être que je me plante, mais ça y ressemble furieusement! (encore faut-il que
$$(.|.): X'^2 \rightarrow \R ; (f,g) \rightarrow (f|g) := \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)$$
soit un produit scalaire!)

@Arnaud: petit croisement de messages, tu t'es planté dans la somme: c'est pas des $2^{-i}$ aux dénos mais des $2^i$.

Mais moi je maintiens que ça sent le Cauchy-Schwarz.