Salut,
Je suis pas sur que j'ai montré ce qu'il fallait dans un exo.
Soit $(E, \le)$ un ensemble ordonné admettant un plus petit élément $m$ et tel que toute partie non vide de $E$ admet une borne supérieur. Montrer que toute partie non vide de $E$ admet une borne inférieure.
Voilà ce que j'ai commencé à faire:
Soit $F$ une partie non vide de $E$. On a donc $F \subset E$. Deplus $\forall x \in E \quad m\le x$ , on a alors, $\forall y \in F \quad m \le x \le y$ Donc $F$ admet un minorant $m$ et donc $F$ admet une borne inférieure.
Je suis pas bien sur de ce que j'ai écris(j'utilise déjà pas toute les hypothèse de l'énnoncé, donc je suis pas sur)!
Dite moi où ça cloche, mais si possible ne corrigez pas, je vais essayer de chercher encore!
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Déjà, l'inégalité $m\le x\le y$ est incorrecte : on ne peut mélanger les $x$ et les $y$ compte tenu de ce que tu écris avant. Par contre, $y$ est un $x$ particulier.
D'autre part, rien ne dit que $E$ est du "type" $\R$ où toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.
Tes parties non vides de $E$ sont de deux types : celles qui contiennent $m$ et les autres.
D'autre part, rien ne dit que $E$ est du "type" $\R$ où toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.
Tes parties non vides de $E$ sont de deux types : celles qui contiennent $m$ et les autres.
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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2eme tentative! lol
Soit $F$ une partie non vide de $E$
Si $m \in F$ , il est clair que $m=\inf F$
Si $m \notin F$, soit $x \in F$, alors $x\in E$. On a $m < x$ donc m est un minorant de F. (bon après je pense que c'est pas super). Si m est un minorant de F, alors $ \exists n \ge m$ telque $n=\inf F$
CQFD
Je racconte peut etre n'importe quoi, si c'est le cas, faut-il se servir du fait que toute partie non vide de E admet une borne supérieur (cf énoncé)
Soit $F$ une partie non vide de $E$
Si $m \in F$ , il est clair que $m=\inf F$
Si $m \notin F$, soit $x \in F$, alors $x\in E$. On a $m < x$ donc m est un minorant de F. (bon après je pense que c'est pas super). Si m est un minorant de F, alors $ \exists n \ge m$ telque $n=\inf F$
CQFD
Je racconte peut etre n'importe quoi, si c'est le cas, faut-il se servir du fait que toute partie non vide de E admet une borne supérieur (cf énoncé)
Je trouvais ça logique! ( )Tryphon a écrit :Quelle propriété te permet d'affirmer cela ?RoMaIn a écrit :Si m est un minorant de F, alors $ \exists n \ge m$ telque $n=inf F$
J'ai essayer de me représenter ce qui se passait.
On a clairement m minore F! Donc c'est pour ca qu'après je dis que $n=inf F$ avec $n \ge m$ (donc n est la borne inferieur de F)
Sinon en utilisant ton indication: soit $G$, l'ensemble des minorants de $F$, on a $G$ une partie non vide de $E$. Or d'après hyphothèse, toute partie non vide $E$ admet une borne supérieur! Donc $F$ admet une borne inf! (c'est un peu mal fait, mais j'ai fait ça à la va vite, je pense qu'il faut faire comme ça!)
Bonne journée