Relation d'ordre

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RoMaIn
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Relation d'ordre

Message par RoMaIn »

Salut,
Je suis pas sur que j'ai montré ce qu'il fallait dans un exo.

Soit $(E, \le)$ un ensemble ordonné admettant un plus petit élément $m$ et tel que toute partie non vide de $E$ admet une borne supérieur. Montrer que toute partie non vide de $E$ admet une borne inférieure.

Voilà ce que j'ai commencé à faire:
Soit $F$ une partie non vide de $E$. On a donc $F \subset E$. Deplus $\forall x \in E \quad m\le x$ , on a alors, $\forall y \in F \quad m \le x \le y$ Donc $F$ admet un minorant $m$ et donc $F$ admet une borne inférieure.

Je suis pas bien sur de ce que j'ai écris(j'utilise déjà pas toute les hypothèse de l'énnoncé, donc je suis pas sur)!
Dite moi où ça cloche, mais si possible ne corrigez pas, je vais essayer de chercher encore!

guiguiche
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Message par guiguiche »

Déjà, l'inégalité $m\le x\le y$ est incorrecte : on ne peut mélanger les $x$ et les $y$ compte tenu de ce que tu écris avant. Par contre, $y$ est un $x$ particulier.
D'autre part, rien ne dit que $E$ est du "type" $\R$ où toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.
Tes parties non vides de $E$ sont de deux types : celles qui contiennent $m$ et les autres.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

RoMaIn
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Message par RoMaIn »

2eme tentative! lol

Soit $F$ une partie non vide de $E$
Si $m \in F$ , il est clair que $m=\inf F$
Si $m \notin F$, soit $x \in F$, alors $x\in E$. On a $m < x$ donc m est un minorant de F. (bon après je pense que c'est pas super). Si m est un minorant de F, alors $ \exists n \ge m$ telque $n=\inf F$
CQFD

Je racconte peut etre n'importe quoi, si c'est le cas, faut-il se servir du fait que toute partie non vide de E admet une borne supérieur (cf énoncé)

Tryphon
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Message par Tryphon »

RoMaIn a écrit :Si m est un minorant de F, alors $ \exists n \ge m$ telque $n=inf F$
Quelle propriété te permet d'affirmer cela ?

Pour te guider : que peux-tu dire de l'ensemble $G$ des minorants de $F$ dans le cas où $m\notin F$ ?

RoMaIn
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Message par RoMaIn »

Tryphon a écrit :
RoMaIn a écrit :Si m est un minorant de F, alors $ \exists n \ge m$ telque $n=inf F$
Quelle propriété te permet d'affirmer cela ?
Je trouvais ça logique! ( :roll: )
J'ai essayer de me représenter ce qui se passait.

Image


On a clairement m minore F! Donc c'est pour ca qu'après je dis que $n=inf F$ avec $n \ge m$ (donc n est la borne inferieur de F)


Sinon en utilisant ton indication: soit $G$, l'ensemble des minorants de $F$, on a $G$ une partie non vide de $E$. Or d'après hyphothèse, toute partie non vide $E$ admet une borne supérieur! Donc $F$ admet une borne inf! (c'est un peu mal fait, mais j'ai fait ça à la va vite, je pense qu'il faut faire comme ça!)

Bonne journée