[MP] Adjoint

[Ash'Ka]

Soit ($E,(.|.)$) un espace préhilbertien de dimension n
Soient $E_1$ et $E_2$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $p$ et $n-p$ supplémentaire dans $E$ et orthogonaux entre eux.

Soit $f : E_1 \longrightarrow E_2$ linéaire.
Soit $g$ l'application de $E_2$ dans $E_1$ tel que $\forall (x_1,x_2) \in E_1 \times E_2, (f(x_1)|x_2) = (x_1|g(x_2))$ ($g$ est l'adjoint de $f$)

Montrer que $\text{Ker} f = (\text{Im} g)^{\perp} \cap E_1$

Merci de votre aide

[P.Fradin]

$x_1 \in \ker(f) \iff x_1\in E_1$ et $f(x_1)=0$,
$f(x_1)=0 \iff \forall x_2\in E_2, (f(x_1)|x_2)=0$ c'est à dire $\forall x_2\in E_2, (x_1|g(x_2))=0$
ce qui revient à dire que $x_1$ est dans l'orthogonal de ${\rm Im}(g)$

[Ash'Ka]

Merci beaucoup!
C'était simple en fin de compte (j'ai un peu de mal avec les orthogonaux)