[MP] Image d'un groupe par une application

[Ash'Ka]

On considère l'équation $z^2 -bz + c = 0$ avec $(b,c) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $b^2 - 4c < 0$.

On pose $\alpha$ l'une des racines de l'équation
On note $\mathbb{Z}_{\alpha}$ l'ensemble $\{p + q \alpha , p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z} \}$ et $G_{\alpha}$ l'ensemble des éléments inversibles de $\mathbb{Z}_{\alpha}$.

On considère l'application $f : \mathbb{Z}_{\alpha} \longrightarrow \mathbb{Z}$ définie par :
$f(p + q \alpha) = p^2 + bpq + cq^2$

Quel est l'image de $G_{\alpha}$ par $f$ ?

On a montré :
1. $\mathbb{Z}_{\alpha}$ est un sous-anneaux de $\mathbb{C}$
2. $f(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 0$
3. $\forall (x,y) \in \mathbb{Z}_{\alpha}^2, f(xy) = f(x)f(y)$
4. $(G_{\alpha}, \times)$ est un groupe

Merci de votre aide

[P.Fradin]

Juste une indication:

Si $z=p+\alpha q\in G_{\alpha}$, alors $z^{-1}\in G_{\alpha}$ et $z\times z^{-1}=1$ d'où $f(z)\times f(z^{-1})=f(1)=1$, or $f(z)$ et $f(z^{-1})$ sont des entiers donc...


PS: on peut remarquer que $f(p+\alpha q)=|p+\alpha q|^2$ (module au carré).

[nirosis]

Pour Ash'Ka : pour taper le symbole entier relatifs, tu peux taper : $ \Z $
Ex : $\Z$
Idem avec N, R et C !
Ce sont des commanes simplifiées ajoutées par MB.

Sinon félicitation pour l'effort d'avoir tout tapé en latex.

[Ash'Ka]

Merci pour l'info nirosis ^^

Sinon, je pense avoir trouvé (j'avais déja pensé à l'indication de P.Fradin mais je ne l'ai pas exploité jusqu'au bout).

Alors, on veut calculer $f(G_{\alpha})$
Pour ce faire, je prend $z \in G_{\alpha}$
$z$ est inversible, je peux donc introduire son inverse dans $\C$ : $z^{-1}$
On a alors $zz^{-1} = 1$
d'où $f(zz^{-1}) = 1$
or, puisque $\forall (x,y) \in \Z_{\alpha}^2, f(xy) = f(x)f(y)$
on a $f(zz^{-1}) = f(z)f(z^{-1}) = f(1) = 1$
Et puisque $f(z) \in \Z$ et $f(z^{-1}) \in \Z$ et que $\forall (p,q) \in \Z^2, pq = 1 \Longleftrightarrow (p = 1$ et $q = 1)$ ou $(p = -1$ et $q = -1)$

D'où $f(z) \in \{-1,1\}$

Donc $f(G_{\alpha}) \subset \{-1,1\}$

Puisque $1 \in G_{\alpha}$ et que $f(1) = 1$, on a déja $1 \in f(G_{\alpha})$

Reste à savoir si $-1$ est dans $f(G_{\alpha})$.

On a $f(z) = |z|^2 \ge 0$

D'où $-1$ n'est pas dans $f(G_{\alpha})$

D'où $f(G_{\alpha}) = \{1\}$

Merci à P.Fradin

(tu peux effacer le message que j'ai envoyé en invité nirosis? j'ai oublié de me loguer lol)

[edit nirosis] : c'est fait