Racines de l'unité

[washboard]

Bonjour,

petit problème sur les racines de l'unité
n est un entier naturel non nul et d un diviseur de n
montrer qu' une racine n-ième de l'unité est racine d-ième de l'unité si et seulement si elle est d'ordre d dans Un(groupe des racines n-ièmes dans C)

Si on suppose que elle est d'ordre d dans Un,alors cela signifie que le plus petit entier non nul $n'$ tel que $z^{n'}=1$ est d
cela signifie que cette racine n-ième de l'unité est racine d-ième de l'unité.
Ce sens me paraît presque trop simple

c'est plutôt l'autre sens qui me pose problème:
J'ai pensé à montrer que d est le pus petit entier non nul tel que $z^d=1$ pour montrer que l'ordre est d.Je ne vois pas comment faire.
on suppose seulement que $z^n=z^d=1$

Qu'en pensez-vous ?
merci par avance

[stokastik]

C'est pas vrai. Prenons n=8 et d=4. La racine 8-ème de l'unité $e^{i\pi}$ est aussi une racine 4ème de l'unité, mais son ordre est 2 dans $U_8$.

Il doit manquer une hypothèse genre d diviseur premier de n peut-être.

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ça y est, je crois que je viens de comprendre.un mot oublié change tout
Il s'agit de montrer qu'une racine n-ième de l'unité est d-ième primitive de l'unité si et seulement si elle est d'ordre d dans Un.
Une racine primitive de l'unité est de la forme $e^{2ik\pi /n} $ avec k^n=1
voilà.je pense que ça résoud le problème car du coup, les seuls diviseurs de d sont 1 et d alors l'ordre est d.
merci
Je vais regarder maintenant la réciproque car ça doit compliquer la preuve

[washboard]

bonjour,

j'ai quelques difficultés pour la réciproque.
Supposons qu'une racine n-ième de l'unité soit d'ordre d dans Un(groupe des racines nièmes de l'unité).
On cherche à montrer que cette racine n-ième de l'unité est racine d-ième primitive de l'unité.

Prenons $z=e^{i2k\pi /n}$. $z^d=1$
Je ne vois pas comment en déduire que pour tout k compris entre 0 et d, $pgcd(k,d)=1$.

Merci pour votre aide

[Arnaud]

Non, il faut montrer que pour tout $k < d$, $z^k \ne 1$.

C'est ce que j'ai comme définition d'une racine d-ième primitive.

[washboard]

Ce qu'on me donne comme définition :
Les racines nièmes primitives de l'unité (ou les générateurs de Un)sont les $e^{2ik\pi /n}$ , $pgcd(k,n)=1$.
J'arrive pas à voir le lien avec ta définition.
Du coup, d'après ton information, si z est d'ordre d dans Un,alors forcément pour tout k plus petit que d $z^n$ sera différent de 1, non ?

[Arnaud]

ce qu'on me donne comme définition :
Les racines nièmes primitives de l'unité (ou les générateurs de Un)sont les
$e^{2ik\pi /n} , pgcd(k,n)=1$

Oui, cette définition est la même, mais c'est différent de ce que tu écris à 15h04.

J'arrive pas à voir le lien avec ta définition.

Je ne crois pas que ce soit très grave.
Le théorème de Lagrange devrait pouvoir t'aider à t'en sortir.

[washboard]

C'est parce que l' on doit montrer qu 'une racine n-ième est racine dième primitive de l'unité

On doit donc bien montrer que $(e^{2ik\pi /n})^d=1$, ce qui est trivial d'après l'hypothèse et pgcd(k,d)=1 (c'est ça la difficulté)

[Arnaud]

Je crois que tu cherches à démontrer quelquechose qui ne correspond pas.

Si $z=e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ génère un groupe d'ordre $d$, c'est clair que $z^d=1$.
Par contre, on ne veut pas montrer que $<k,d>=1$, mais plutôt qu'il existe $b < d$, $<b,d>=1$ tel que $z=e^{\frac{2ib\pi}{d}}$.

[washboard]

J'avoue que je ne comprends pas tout.

D'après la définition d'une racine d-ième primitive de l'unité, je dois montrer que pour tous les k compris entre 0 et d , $pgcd(k,d)=1$.

$z=e^{2ik\pi /n}$
on suppose que $z^d=1$ (ça c'est OK).
comment arriver au résultat ? Nul part, j'utilise l'hypothèse de départ d est un diviseur de n.

[Arnaud]

D'après la définition d'une racine d-ième primitive de l'unité, je dois montrer que
pour tous les k compris entre 0 et d , pgcd(k,d)=1

C'est faux, tu n'as pas comrpis la définition d'une racine primitive.
C'est pas "pour tout $k$", mais "il existe un $k$" tel que....

[washboard]

Ca commence à venir mais je ne vois pas du tout pour la preuve.

On commence par $z^n=1$.
J'ai remplacé n par dk' vu que d divise n mais ça ne m'avance à rien.

[Arnaud]

$z$ est une racine n-ième et une racine d-ième de l'unité, donc en comparant les écritures tu devrais pouvoir trouver des relations.

[ArthuroG]

Bonjour,
je me permet de faire remonter ce fil de conversation. Je n'arrive pas à conclure dans un exercice similaire. Voici mes notations :

U(n) = ensemble des racines n-ième de l'unité.
P(n) = ensemble des racines primitives n-ième de l'unité.

Je dois montrer que U(n) = union disjointe de P(d) pour d|n.

Si $\epsilon\in U(n)$ alors $\epsilon=w_n^k$ pour un certain k entre 1 et n.

Je dois montrer que : $\epsilon^d = 1$ et $pgcd(k,d)=1$.
Est-ce bien cela ?

D'avance merci !