[MPSI] Fonctions

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amine
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[MPSI] Fonctions

Message par amine »

Soit $f$ une fonction, $f$ n’est pas la fonction identiquement nulle. On pose $E = \{x > 0 | f(x) = 0\}$. On sait que $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ et que $f$ est paire.

Sachant que $f(0) = 1$, et que $f$ s’annule au moins une fois sur $\R^+$ et que $E$ admet une borne inférieure que l’on note $a$.

3. Prouver que $f(a) = 0$ (on pourra raisonner par l’absurde). En déduire que : $a > 0$.

Merci d'avance .
C'est un DM pour lundi 31/10, donc j'ai plus de temps, à vous de m'aider.

C'est un extrait du "CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES" si ca peut vous aider.

[Edit: MB] Passage en code LaTeX. Attention au titre !

P.Fradin

Message par P.Fradin »

Je suppose que la fonction $f$ est continue!

L'ensemble $E$ n'est pas vide par hypothèse, il est minoré par $0$, donc il a effectivement une borne inférieure qui est positive ou nulle.

Montrer que $f(a)=0$: comme $a={\rm Inf}(E)$, il existe une suite $(e_n)$ de $E$ qui converge vers $a$, donc $f(e_n)$ tend vers $f(a)$ (continuité), mais $f(e_n)=0$, donc $f(a)=0$. Comme $f(0)=1$ et que $a\geq 0$, on a $a>0$.

PS: vu la formulation de la question (montrer par l'absurde), l'auteur de l'énoncé attendait probablement autre chose.

amine
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Message par amine »

Juste une chose, quelle est la condition pour que $(e_n)$ existe ?

MB
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Message par MB »

amine a écrit :Juste une chose, quelle est la condition pour que $(e_n)$ existe ?
Pas de condition. C'est une propriété de la borne inférieure.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

amine
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Message par amine »

oui c'est vrai, j'ai totalement oublié.
merci pour la demonstration.
enfin de compte, c'est pas imposer l'absurde, on a dit juste "on pourra".
si quelqu'un a pu la resoudre par absurde, ce serai pas mal, si personne n'a pu, je me contentrai de cette demonstration.
merci. :wink:

P.Fradin

Message par P.Fradin »

Par l'absurde:

si $f(a)\neq 0$ alors, par continuité de $f$ en $a$, au voisinage de $a$ on a $f(x)\neq 0$, or tout voisinage de $a$ contient des éléments de $E$ car $a={\rm Inf}(E)$, d'où la contradiction.

amine
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Message par amine »

dsl, mais j'ai encore quelques problemes,
on a 8(x, y) 2 R2, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)

et on vuet montrer que

8(x, y) 2 R2, f"(x + y) + f"(x − y) = 2f(x)f"(y)

j'ai consideré que x un parametre donc f'(x)=0,
mais dans la question qui suit, on doit deduire que f"(x)=cf(x), c un reel.
donc x et y variables.

P.Fradin

Message par P.Fradin »

amine a écrit :dsl, mais j'ai encore quelques problemes,
on a 8(x, y) 2 R2, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)

et on vuet montrer que

8(x, y) 2 R2, f"(x + y) + f"(x - y) = 2f(x)f"(y)

j'ai consideré que x un parametre donc f'(x)=0,
mais dans la question qui suit, on doit deduire que f"(x)=cf(x), c un reel.
donc x et y variables.
J'ai du mal à saisir le sens de: "8(x, y) 2 R2"!! Mais je pense avoir saisi le reste.

Vous avez la relation $f"(x + y) + f"(x-y) = 2f(x)f"(y)$ qui est valable pour tous les réels $x$ et $y$. Cette relation est donc vraie pour $y=0$ ce qui donne $f''(x)=cf(x)$ en posant $c=f''(0)$ (ceci étant vrai pour tout réel $x$).

maskou
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Message par maskou »

Bonjour

Si tu considère que c'est $x$ ta variable, tu as ici une somme de deux fonctions de x:
La composée de $f$ avec le fonction $x \to x+y$ et la composée de $f$ avec
$x \to x-y$ donc en applicant les formules de dérivation (je le précise même si ici ça ne saute pas aux yeux mais si c'avait été $x \to f(2x+3y)$...), on obtient:
$f''(x+y)+f''(x-y)=2f''(x)f(y)$
En prennant $y=0$ il vient:
$2f''(x)=2f''(x)f(0)$ d'où $f''(x)=cf(x)$ avec $c=f(0)$
MASKOU

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Message par maskou »

oups j'avait mal lu la formule (mais ce que j'ai fait est juste aussi :lol: )



Ceci dit c'est a peu près la même chose au passage si $g(y)=f(x-y)$ il faut être conscient que $g'(y)=-f'(x-y)$ d'où $g''(y)=-(-f''(x-y)=f''(x-y)$...

Et re-oups j'avais pas vu que tu avais aussi répondu P.Fradin...
MASKOU