[MPSI] Relations Coefficients - Racines

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pouik
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[MPSI] Relations Coefficients - Racines

Message par pouik »

Bonjour,
J'ai un petit problème sur cet exercice car le résultat que je rouve me semble un peu trop simple vu la méthode à appliquer. Merci d'avance pour votre aide.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les complexes $a, b, c, d$ pour que les trois racines complexes du polynôme $P = X^3 + aX^2 + bX + c$ soient en progression arithmétique.

Méthode : Les trois racines $x, y, z$ doivent satisfaire 4 conditions : cela fait un système de 4 équations à 3 inconnues $(x,y,z)$, dont $a, b, c, d$ sont paramètres. Faire mine de résoudre ce système en $x, y, z$ ; à la fin, trois des qautre lignes du système doivent fournir $x, y, z$, et la dernière doit comporter une condition portant exclusivement sur $a, b, c, d$ qui est la CNS recherchée.


Ma réponse :

$\longrightarrow$ Considérons le polynôme $P = X^3 + aX^2 + bX + c$.

Notons $x, y, z$ les racines de $P$ (dans l'odre coissant) en progression arithmétique,

on a donc déjà la relation : $$2y = x + z$$

D'après la relation Coefficient- Racine, on a également la relation :
$$x + y + z = -a$$

c'est-à-dire : $$3y = -a$$

soit : $$y = -\dfrac{a}{3}$$

Finalement la condition s'exprime en disant que $-\dfrac{a}{3}$ est solution de $P(X) = 0$.

Or : $$P\left(-\dfrac{a}{3}\right) = \left(-\dfrac{a}{3}\right)^3 + a\left(-\dfrac{a}{3}\right)^2 + b\left(-\dfrac{a}{3}\right) + c$$

c'est-à-dire : $$P\left(-\dfrac{a}{3}\right) = -\dfrac{a^3}{27} + \dfrac{a^3}{9} -\dfrac{ab}{3} + c$$

La condition recherchée est donc : $$- a^3 + 3a^3 - 9ab + 27c = 0$$

c'est-à-dire : $$\boxed{2a^3 - 9ab + 27c = 0}$$


PS : Le problème c'est que je ne suis pas trop le protocole pourriez vous m'aider à adapter ma réponse pour que ca colle au model. Merci d'avance. :D :D

rebouxo
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Message par rebouxo »

pouik a écrit :Notons x, y, z les racines de P (dans l'ordre croissant) en progression arithmétique,
Bonjour, Pouik.
Cette phrase n'a pas de sens, car $x$, $y$ et $z$ sont des nombres complexes.
Ou alors tu veux dire autre chose. Par exemple, $y= x + k$, et $z = y+ k$

Les trois relations entre coef et racines :
$\left \lbrace
\begin{array}{rcl}
-\dfrac{d}{a} &=& xyz \\
\dfrac{c}{a} &=& xy+xz+yz \\
-\dfrac{b}{a}&=& x+y+z \\
\end{array}
\right.$
Bon courage
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guiguiche
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Message par guiguiche »

Le problème essentiel de ta réponse est de rechercher une condition sur $a,b,c,d$ dans le polynôme $X^3+aX^2+bX+c$ dans lequel $d$ ne figure pas !
Tes calculs sont donc à revoir, mais le raisonnement me semble correct.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

rebouxo
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Message par rebouxo »

Ah, oui. Je l'avais pas vu celle là. Cela explique la différence entre tes formules et les miennes.

A la fin je trouve : $b^3 - 9bc + 27da = 0$. 1/2 page de calcul, et j'ai l'impression qu'il vaut mieux garder les systèmes, finalement c'est plus clair.

Olivier
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