? et comment redémontre t'on la formule du calcul du volume de la sphère s'il vous plait ?Merci d'avance.
Section d'une sphère par un plan
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Nat59
Section d'une sphère par un plan
Bonjour, comment démontre t'on que la section d'une sphère par un plan est un cercle s'il vous plait ? et comment redémontre t'on la formule du calcul du volume de la sphère s'il vous plait ?
Merci d'avance.
? et comment redémontre t'on la formule du calcul du volume de la sphère s'il vous plait ?Merci d'avance.
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MB
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A quel niveau scolaire te places tu et quel est le but de ces questions (pour le savoir ou c'est un exercice scolaire) ? Il est important de le préciser pour que je puisse te répondre correctement. De toute manière pour la première question (qui est évidente d'ailleurs), il faut travailler dans un repère.
On considère un plan et une sphère. On se place dans un repère cartésien tel que l'équation du plan soit $z=0$ (c'est toujours possible). Alors, la sphère aura une équation du type $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$.
En considérant l'intersection du plan et de la sphère, on obtient un objet d'équation $(x-a)^2+(y-b)^2+(-c)^2=r^2$, c'est à dire $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2-c^2$ qui est bien l'équation d'un cercle si le plan coupe bien la sphère (ie $r^2-c^2 \geq 0$).
On considère un plan et une sphère. On se place dans un repère cartésien tel que l'équation du plan soit $z=0$ (c'est toujours possible). Alors, la sphère aura une équation du type $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$.
En considérant l'intersection du plan et de la sphère, on obtient un objet d'équation $(x-a)^2+(y-b)^2+(-c)^2=r^2$, c'est à dire $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2-c^2$ qui est bien l'équation d'un cercle si le plan coupe bien la sphère (ie $r^2-c^2 \geq 0$).
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Nat59
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MB
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Nat59
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Il y a plusieurs méthodes pour calculer le volume de la boule. Je vais t'indiquer la plus simple (je pense) mais qui n'est pas la plus rigoureuse puisqu'elle utilise la formule de l'aire du disque.
On suppose cette fois que l'origine du repère est le centre de la boule. On va intégrer l'aire $\mathcal{A}(h)$ du disque formé par l'intersection de la boule et du plan d'équation $z=h$ pour $h \in [-r;r]$. L'aire de ce disque est $\mathcal{A}(h)=\pi(r^2-h^2)$. On a :
<center>$\begin{array}{lcl}
\mc{V} & = & \displaystyle\int_{-r}^{r} \mc{A}(h) dh \\
& = & \displaystyle\int_{-r}^{r} \pi(r^2-h^2) dh \\
& = & \left[ \pi(hr^2-\dfrac{1}{3}h^3) \right]_{-r}^{r} \\
& = & \pi \left(r^3-\dfrac{1}{3}r^3 \right) - \pi \left(-r^3-\dfrac{1}{3}r^3 \right) \\
& = & \dfrac{2}{3} \pi r^3 + \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\
\mc{V} & = & \dfrac{4}{3} \pi r^3 \\
\end{array}$</center>
On retrouve ainsi la formule du volume de la sphère.
On suppose cette fois que l'origine du repère est le centre de la boule. On va intégrer l'aire $\mathcal{A}(h)$ du disque formé par l'intersection de la boule et du plan d'équation $z=h$ pour $h \in [-r;r]$. L'aire de ce disque est $\mathcal{A}(h)=\pi(r^2-h^2)$. On a :
<center>$\begin{array}{lcl}
\mc{V} & = & \displaystyle\int_{-r}^{r} \mc{A}(h) dh \\
& = & \displaystyle\int_{-r}^{r} \pi(r^2-h^2) dh \\
& = & \left[ \pi(hr^2-\dfrac{1}{3}h^3) \right]_{-r}^{r} \\
& = & \pi \left(r^3-\dfrac{1}{3}r^3 \right) - \pi \left(-r^3-\dfrac{1}{3}r^3 \right) \\
& = & \dfrac{2}{3} \pi r^3 + \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\
\mc{V} & = & \dfrac{4}{3} \pi r^3 \\
\end{array}$</center>
On retrouve ainsi la formule du volume de la sphère.
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michel
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MB
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Plutôt à partir de celle du périmètre.michel a écrit :Il n'y a pas plus terre à terre puisqu'il faut se rappeler que le nombre Pi est défini à partir de cette formule !MB a écrit :Je vais t'indiquer la plus simple (je pense) mais qui n'est pas la plus rigoureuse puisqu'elle utilise la formule de l'aire du disque.
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Bruno
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nirosis
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Bienvenue à toi !
Je ne vois pas quelle est ta formule Bruno ?
La démo de MB est naturelle. Le but est de trouver la valeur de $\int\int\int_Sdv$ ! Donc le plus naturel est de trouver une paramétrisation de la boule à partir d'un résultat connu (ici l'aire du disque). Il y a d'autres façons de parcourir toute la boule.
A part ça, MB te répondra sans doute mieux que moi ;)
Je ne vois pas quelle est ta formule Bruno ?
La démo de MB est naturelle. Le but est de trouver la valeur de $\int\int\int_Sdv$ ! Donc le plus naturel est de trouver une paramétrisation de la boule à partir d'un résultat connu (ici l'aire du disque). Il y a d'autres façons de parcourir toute la boule.
A part ça, MB te répondra sans doute mieux que moi ;)
nirosis
Lisez le tutoriel sur LaTeX
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Bruno
Merci pour le "bienvenue", je l'apprécie.
La question que je pose à MB, c'est : pourquoi dire que le calcul de l'intégrale simple est moins rigoureux que celui de l'intégrale triple ? D'autant que si l'on reste en cartésienne ou si l'on passe en cylindriques (je ne sais plus mais ça doit marcher) le calcul de l'intégrale simple apparaît comme la dernière étape de celui de l'intégrale triple via Fubini.
Que faire de plus rigoureux ?
Bruno
La question que je pose à MB, c'est : pourquoi dire que le calcul de l'intégrale simple est moins rigoureux que celui de l'intégrale triple ? D'autant que si l'on reste en cartésienne ou si l'on passe en cylindriques (je ne sais plus mais ça doit marcher) le calcul de l'intégrale simple apparaît comme la dernière étape de celui de l'intégrale triple via Fubini.
Que faire de plus rigoureux ?
Bruno
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MB
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Bienvenu Bruno. En ce qui concerne ta question, je pensais simplement (comme l'a deviné nirosis) que l'on pouvait repartir d'une équation paramétrée de la sphère pour calculer le volume ce qui serait plus 'rigoureux' (le terme était peut-être mal choisi) que d'utiliser la formule de l'aire du disque (on peut en effet considérer cette formule comme non admise). C'était juste ça.