Problème concret

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adumal
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Problème concret

Message par adumal »

Tout d'abord bonjour à tous.

Je suis en 2e année de fac d'économie & gestion à dijon.

Je suis nouveau ici et je créé ce sujet parce que nous avons pour la fin de l'année, comme l'an dernier, un mini mémoire de maths à rendre par groupes de 4. On a le sujet depuis 2 semaines et après quelques heures de réflexion je ne vois vraiment pas de point de départ..

Voici le sujet :

"Impact du prix du tabac sur sa consommation.

Le gouvernement d'un pays envisage une politique qui vise à limiter la consommation de tabac. Avant d'agir sur le prix du tabac il demande à un service de prévisions, dont vous faites partie, de déterminer l'impact du prix du tabac (et du revenu des consommateurs) sur sa consommation.

On dispose d'observations annuelles, de 1963 à 1992, qui portent sur les quantités achetées, le prix moyen du paquet de cigarettes à l'intérieur du pays ainsi que celuiu dans un pays voisin qui pratique des prix attractifs. Plus précisément, ces observations contiennent :

La consommation CO en nombre de paquets par tête

Le revenu moyen R des consommateurs en dollars.

Le prix PI du paquet en dollars.

Le prix PE du paquet dans le pays voisin en dollars.


Pour simplifier, on postule des élasticités consommation/prix et consommation/revenu constantes, et on se propose d'estimer la valeur de ces élasticités par régression linéaire.

1- Proposer une fonction de consommation du tabac qui réponde aux hypothèses imposées sur les élasticités.

2- Montrer que la méthode de régression linéaire permet d'estimer la valeur des élasticités. Préciser avec soin les hypothèses de travail.

3- Pour les données fournies (habitants du Texas et habitants de la Louisianne sur la période 1963-1992), calculer de façon effective, par la méthode des moindre carrés, la valeur des élasticités estimées.

4- Comment peut-on s'assurer de la qualité de l'estimation?

5- A partir des estimations obtenues, peut-on déterminer si le produit tabac est un bien élastique ou inélastique? Si oui, comment procéder?

6- Comment peut-on s'assurer de la pertinence des variables retenues dans le modèle? "


Je ne vous demande bien sûr pas de me faire le mémoire, mais je ne vois vraiment pas comment partir dans le problème, si quelqu'un voulait bien m'accorder son aide elle me serait très précieuse..

D'avance merci ;)


PS : le prof ne nous a volontairement pas encore donné les données car il veut qu'on avance nous même avant de les donner.

kojak
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Message par kojak »

Bonjour

As tu traduit le fait que tes élasticités soient constantes....
Si ce sont des élasticités instantannées, et si tu appelles $C$ ta fonction de consommation en fonction de ton prix $p$ et $e$ ton elasticité, tu as par exemple
$e(p)=p\dfrac{C'(p)}{C(p)}$ or $e(p)=k$ donc tu tombes sur une équation différentielle qui est $p\dfrac{C'(p)}{C(p)}=k$ qui s'intègre facilement....

C'est peut être une piste :roll:
Pas d'aide par MP.

adumal
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Message par adumal »

Merci pour cette si rapide réponse ;)

J'ai un bref souvenir des equations différentielles en terminale S mais je ne pense pas que l'on doive partir dans cette voie vu notre programme de maths en fac, cette année c'est plutôt optimisation, matrices, systèmes linéaires..

En fait j'ai du mal à traduire mathématiquement le fait que les élasticités soient constantes.

De même, on doit montrer que "une fonction f définie sur R+ d'une variable est à élasticité constante si et seulement si elle est de la forme f(x)=ax exposant alpha.

Je pense donc que la fonction de consommation doit avoir une forme similaire..

kojak
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Message par kojak »

Pour toi c'est quoi l'élasticité ? Pour traduire le fait qu'elle soit constante, cela signifie que pour tout réel $x>0$ $e(x)=\alpha$...
adumal a écrit : De même, on doit montrer que "une fonction f définie sur R+ d'une variable est à élasticité constante si et seulement si elle est de la forme f(x)=ax exposant alpha.
Ben je te l'ai presque résolu....
Au lieu de l'appeler $C$, tu l'appelles $f$ et donc avec mes indications tu as :
$x\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\alpha$ d'où $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{\alpha}{x}$

Tu intégres chaque membre, à gauche tu reconnais la dérivée de $\ln | f|$ et à droite une primitive est $\alpha \ln x$ sachant que $x>0$...
d'où $\ln\dfrac{f(x)}{a}=\alpha\ln x$ où $a$ est une constante......
Il ne te reste plus qu'à prendre l'exponentielle pour obtenir ton résultat... en faisant "rentrer" le $\alpha$ dans le $\ln$....

PS : un petit effort pour utiliser $LaTeX$ :wink:
Pas d'aide par MP.

adumal
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Message par adumal »

kojak a écrit :Bonjour

As tu traduit le fait que tes élasticités soient constantes....
Si ce sont des élasticités instantannées, et si tu appelles $C$ ta fonction de consommation en fonction de ton prix $p$ et $e$ ton elasticité, tu as par exemple
$e(p)=p\dfrac{C'(p)}{C(p)}$ or $e(p)=k$ donc tu tombes sur une équation différentielle qui est $p\dfrac{C'(p)}{C(p)}=k$ qui s'intègre facilement....

C'est peut être une piste :roll:

Salut, en fait je ne suis pas vraiment à l'aise avec ce type de raisonnementd'où l'on part de rien ou presque..

Là tu utilises des formules ou ce sont des calculs que tu fais à partir d'hypothèses?

Et tu aurais une idée de la fonction de consommation? je suppose qu'elle sera de la forme comme tu as mis dans le dernier message mais je bloque toujours..

Vu notre cours on aura surementà passer par un système linéaire et des matrices.

Enfin bref je suis un peu coincé :oops:

Si quelqu'un d'autre a des pistes je ne suis pas contre :?

kojak
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Message par kojak »

adumal a écrit : Salut, en fait je ne suis pas vraiment à l'aise avec ce type de raisonnementd'où l'on part de rien ou presque..
Pas tout à fait :
Il suffit de revenir à la définition de l'élasticité :
$e=\dfrac{\dfrac{\Delta C}{C}}{\dfrac{\Delta p}{p}}$ où $C$ est ta consommation et $p$ ton prix.
Donc, entre $p$ et $p+h$, cela donne : $\Delta C=C(p+h)-C(p)$ et $\Delta p = h$. Alors en remplaçant dans $e$, tu as :
$e=\dfrac{C(p+h)-C(p)}{C(p)}\times \dfrac{p}{h}$c'est à dire $e=\dfrac{C(p+h)-C(p)}{h}\times \dfrac{p}{C(p)}$
Ensuite il faut prendre la limite quand $h$ tend vers $0$ et le premier morceau a pour limite $C'(p)$ : c'est la définition du nombre dérivé d'une fonction.
d'où $e(p)=p\dfrac{C'(p)}{C(p)}$ appelé elasticité instantanée...

Et sinon je te rassure, ta fonction de demande va bien être du type $k x^{\alpha}$..
De plus, il fautt que tu fasses une regression linéaire pour trouver ton elasticité... maintenant à toi de choisir avec quelles données tu vas la faire, vu la tête de ta fonction de demande...
Pas d'aide par MP.

FuturRacalédelENS
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Message par FuturRacalédelENS »

Bonjour, merci beaucoup de ces precisions... nous avons egalement le meme sujet de memoire !!!!!!!


D'autres questions sont à venir.... très prochainement merci encore de votre aide.

ADG
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Re: Problème concret

Message par ADG »

Bonjour,
Nous avons également le même sujet de mémoire. Je tiens déjà à vous remerciez pour les informations que vous avez fournies, elles nous ont permis d'avancer dans la question 1 et de trouver un point de départ.

Cependant pourriez vous nous aider pour la question deux sur la regression linéaire. Nous savons quil vaut tranformer la fonction de consommation en passant par les ln afin de la linéariser mais près je ne vois pas trop la méthode sachant que l'on n'a pas de données.
Merci d'avance

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Re: Problème concret

Message par Framboise »

Bonjour,

Il y a des données réelles sur:

http://dnf.asso.fr/
http://forum.dnf.asso.fr/
http://www.igr.fr/doc/cancer/pdf/preven ... iffres.pdf

Cela peut permettre de confronter la théorie avec la réalité.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?

ADG
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Re: Problème concret

Message par ADG »

Merci pour le site, il est très intéressant.
Cependant nous devons expliquer par une méthode mathématique pourquoi l'élasticité peut être estimée grâce à une régression linéaire. Nous ne devons pas nous servir de chiffres obtenus sur des sites malheureusement. Les chiffres utiles pour les questions suivantes nous serons donnés lorsque l'on aura résolu la question 2.
Le problème est que nous ne voyons pas le rapport entre l'élasticité et la régression linéaire.

onadumal
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Re: Problème concret

Message par onadumal »

Bonjour,
Nous avons aussi reçu ce sujet de mémoire cette année, est ce que quelqu'un pourrait nous aider. Nous sommes vraiment nul en maths.