Série

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
washboard
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 83
Inscription : mardi 26 décembre 2006, 15:03

Série

Message par washboard »

Bonjour,

comment montrer que la série de terme général
$u_n(x)=\dfrac{1}{n+x-1} + \ln(1-\dfrac{1}{n})$ $n \ge 1$ est convergente pour au moins un réel $x$, $x>0$
merci par avance

[Edit Arnaud : correction LaTeX]

Jean-charles
Modérateur
Modérateur
Messages : 2226
Inscription : mercredi 24 août 2005, 14:35
Localisation : Alpes-Maritimes

Message par Jean-charles »

Un petit DL à l'ordre 2 de $\ln(1-\dfrac{1}{n})$ devrait bien aider...

washboard
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 83
Inscription : mardi 26 décembre 2006, 15:03

Message par washboard »

$ln(1- \dfrac{1}{n})=-\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1} {n^2}\varepsilon(\dfrac {1}{n})$

d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?

[Edit Kojak : c'est plus joli..]

Code : Tout sélectionner

\varepsilon

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10378
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Message par kojak »

washboard a écrit :
d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?
si $x=1$ sinon le $\dfrac{1}{n+x-1}$, il ne faudrait pas l'oublier....
:roll:

[edir Kojak : j'ai corrigé mon post..]
Dernière modification par kojak le vendredi 16 février 2007, 15:13, modifié 1 fois.
Pas d'aide par MP.

Jean-charles
Modérateur
Modérateur
Messages : 2226
Inscription : mercredi 24 août 2005, 14:35
Localisation : Alpes-Maritimes

Message par Jean-charles »

washboard a écrit :$ln(1- \dfrac{1}{n})=-\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1} {n^2}\varepsilon(\dfrac {1}{n})$

d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?
C'est ça à condition effectivement, de bien choisir une valeur pour $x$...

washboard
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 83
Inscription : mardi 26 décembre 2006, 15:03

Message par washboard »

pour $x\ge 1$ fixé , on aura $\dfrac {1}{n+x-1}$qui sera équivalent en l'infini à $\dfrac {1}{n}$

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10378
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Message par kojak »

Oui, mais pour additionner les équivalents, encore faut il qu'il soit de même ordre et que la somme ne soit pas nulle... et donc avec ta méthode tu as un équivalent de $u_n(x)$ qui est $0$... bug....
Donc il vaut mieux faire un DL à l'ordre 2 et comme ceci pas d'embrouille...
Les équivalents, c'est bien pratique, mais il faut les manier avec précaution... il faut s'en méfier comme de la peste, si on n'est pas sûr de soi....
Pas d'aide par MP.

Jean-charles
Modérateur
Modérateur
Messages : 2226
Inscription : mercredi 24 août 2005, 14:35
Localisation : Alpes-Maritimes

Message par Jean-charles »

N'oublie pas que l'on te donne juste de prouver qu'elle converge pour au moins une valeur de $x$.
N'y-a-t-il pas une valeur de $x$ qui te saute au yeux ?

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10378
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Message par kojak »

Jean-charles a écrit :N'y-a-t-il pas une valeur de $x$ qui te saute au yeux ?
surtout j'ai pas fait exprès mais je lui ai donné :roll:
Pas d'aide par MP.

washboard
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 83
Inscription : mardi 26 décembre 2006, 15:03

Message par washboard »

x=1 bien sûr mais pour les autres c'est trop risqué,on ne peut affirmer comme je l'ai fait dans le message précédent en additionnant des équivalents.

Par contre, le fait de dire que $\dfrac {1}{n+x-1}$ est équivalent à $\dfrac {1}{n} $ pour $ x \ge 1 $ est vrai ,n'est-ce pas ?
C'est la somme d'équivalent qu'on ne peut faire ensuite.

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10378
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Message par kojak »

washboard a écrit :x=1 bien sûr mais pour les autres c'est trop risqué,on ne peut affirmer comme je l'ai fait dans le message précédent en additionnant des équivalents.
correct..
washboard a écrit : Par contre, le fait de dire que $\dfrac {1}{n+x-1}$ est équivalent à $\dfrac {1}{n} $ pour $ x \ge 1 $ est vrai ,n'est-ce pas ?
correct.. et même pour $x>0$
washboard a écrit : C'est la somme d'équivalent qu'on ne peut faire ensuite.
ici, car il faut des équivalents de même ordre et que la somme ne soit pas nulle... ici la somme est nulle, d'où le bug...
Pas d'aide par MP.

Jean-charles
Modérateur
Modérateur
Messages : 2226
Inscription : mercredi 24 août 2005, 14:35
Localisation : Alpes-Maritimes

Message par Jean-charles »

Pour $x=1$:
$u_n=\dfrac{1}{n}+\ln(1-\dfrac{1}{n})$
Donc $u_n$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$, et donc la série converge pour $x=1$.
Je ne vois pas où est le problème...
Dernière modification par Jean-charles le vendredi 16 février 2007, 17:33, modifié 1 fois.

washboard
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 83
Inscription : mardi 26 décembre 2006, 15:03

Message par washboard »

C'est bon , pas de problème.
merci pour ces renseignements.A bientôt.

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10378
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Message par kojak »

Jean-charles a écrit :Donc $u_n$ est équivalent à $-\dfrac{1}{n^2}$, et donc la série converge pour $x=1$.
.
A un coefficient près $u_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}$ :wink:
Pas d'aide par MP.

Jean-charles
Modérateur
Modérateur
Messages : 2226
Inscription : mercredi 24 août 2005, 14:35
Localisation : Alpes-Maritimes

Message par Jean-charles »

kojak a écrit : A un coefficient près $u_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}$ :wink:
Oups, c'est réparé, merci !

kojak
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 10378
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Message par kojak »

Jean-charles a écrit :Oups, c'est réparé, merci !
Niakkk, Niakkkk, Niakkkk... : tu croyais qu'on le verrait pas :P
Pas d'aide par MP.