[Licence] Complexes et polynomes

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Kazik

[Licence] Complexes et polynomes

Message non lu par Kazik »

Bonjour,

je dois resoudre dans $\mathbb{C}$ ceci : $z^6=-8$

j'arrive aisement a trouver deux solutions en remarquant que $z^6=(z^2)^3$ et que $(-2)^3=-8$ ce qui me donne les solutions $z=-\sqrt{2}i$ ou $z=\sqrt{2}i$ ... mais je doute que ce soit les seules solutions.

aussi je voudrais que quelqu'un puisse m'aidez dans la resolution de cette equation.

d'avance merci.
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Cherchez les solutions $z$ sous forme trigonométrique...
Kazik

Message non lu par Kazik »

P.Fradin a écrit :Cherchez les solutions $z$ sous forme trigonométrique...
Je veux bien mais comment ?
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

$z=re^{i\theta}$ avec $r>0$, $z^6=-8=8e^{i\pi}\iff r^6=8$ et $6\theta=\pi+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$, je vous laisse finir...
Nico
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Message non lu par Nico »

Ya pas une histoire de théorème fondamental de l'algèbre qui dit que cette équation a 6 solutions? il me semble... mon vieux prof de fac nous bassinait avec ca....
Nicolas
nirosis
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Message non lu par nirosis »

Ben c'est un petit peu le théorème de D'Alembert non ?

Un polynome de degré $n$ dans $\C$ a $n$ racines.
Kazik

Message non lu par Kazik »

P.Fradin a écrit :$z=re^{i\theta}$ avec $r>0$, $z^6=-8=8e^{i\pi}\iff r^6=8$ et $6\theta=\pi+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$, je vous laisse finir...
je me retrouve avec un systeme donc :
$\{{r^6=8\atop 6\theta=\pi+2k\pi}$ donc je dois "tirer" $r$ et $\theta$ ... mis a part prendre la racine sixieme pour $r$ et une division par $6$ pour $\theta$ je ne vois pas quoi faire ...
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

Prenez la racine 6e de 8 et faites donc votre division par 6.
Pensez à faire varier k...
Kazik

Message non lu par Kazik »

(on peut se tutoyer non ? ... je me repete mais je trouve cela bcp plus agreable enfin ca ne serait pas la meme ambiance ! je ne suis pas un grand monsieur !!)

ok alors je prend la racine sixieme de 8 mais cela me donne quoi ? $\sqrt[6]{8}$ ...

pour $\theta$ je trouve $\frac{\pi}{6}+\frac{1}{3}k\pi$

correct ?
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

C'est bien ça
$\forall k \in \Z, (\sqrt[6]{8}e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}})^6 = -8$
les $\sqrt[6]{8}e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}$ sont les racines 6e de -8
Or, l'ensemble $E=\{\sqrt[6]{8}e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}},k\in \Z\}$ est cyclique et fini
C'est à dire qu'il existe $n \in \N$ tel que $\sqrt[6]{8}e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}} = \sqrt[6]{8}e^{i\frac{\pi + 2(k+n)\pi}{6}}$.
Il te reste à montrer que $n = 6 = card(E)$
Invité

Message non lu par Invité »

Bonjour,

j'ai essayé de montrer la cyclicité mais j'avoue ne pas y arriver :

On a :

$\forall k \in \Z, (\sqrt[6]{8}e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}})^6 = -8$

soit

$\forall k \in \Z, (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}})^6 = -8$

donc

$z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}, \forall k \in \Z$

j'essaye donc de voir ce que $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}$ donne pour certaines valeurs :

pour $k=0$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{\pi}{6}}$

pour $k=1$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{\pi}{2}}$

pour $k=2$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{5\pi}{6}}$

pour $k=3$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{7\pi}{6}}$

pour $k=3$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{3\pi}{2}}$

pour $k=4$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{11\pi}{6}}$

pour $k=5$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{13\pi}{6}}$

pour $k=6$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{13\pi}{6}}$

pour $k=7$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{5\pi}{2}}$

pour $k=8$ on a $e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{6}}=e^{i\frac{17\pi}{6}}$

je ne vois pas quelque chose de cyclique ici !

ou est mon erreur ?
merci encore.
Kazik

Message non lu par Kazik »

dsl l'invité c'etait moi et j'ai compris aprés coup en passant par la mesure principale !

je trouve donc :

si $k=6q, q\in\Z$ alors $z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}$
si $k=6q+1, q\in\Z$ alors $z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}}$
si $k=6q+2, q\in\Z$ alors $z=\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{6}}$
si $k=6q+3, q\in\Z$ alors $z=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{6}}$
si $k=6q+4, q\in\Z$ alors $z=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{2}}$
si $k=6q+5, q\in\Z$ alors $z=\sqrt{2}e^{i\frac{11\pi}{6}}$

correct ?

par contre au niveau de la redaction je ne vois pas trop comment faire !

par ce que je regarde ce qu'il se passe au niveau de quelques valeurs puis je déduis ceci ... est-ce une bonne redaction ? ... par cyclicité ... ??

merci encore.
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