[Licence] Ensemble, Fonction

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Kazik

[Licence] Ensemble, Fonction

Message non lu par Kazik »

Bonsoir,

j'ai un petit probleme a vous soumettre dont voici l'enoncé :
---
Soit $\rm f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ une application croissante et $\rm A=\{x\in[0,1] | x\le f(x)\}$
1/ Montrer que $\rm A$ admet une borne supérieure que l'on note $\rm a$
2/ Montrer que $\rm a\in[0,1]$
3/ Montrer que $\rm f(a)$ est un majorant de $\rm A$ et que $\rm a\in A$
4/ On suppose que $\rm a=1$. Montrer que $\rm f(1)=1$
5/ On suppose que $\rm a\in[0,1[$. Montrer que $\rm f(a)$ est un majorant de $\rm ]a,1]$, puis $\rm f(a)=a$
6/ En déduire que pour toute application croissante $\rm f:[0,1] \to [0,1]$ l'equation $\rm f(x)=x$ admet au moins une solution.
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Voici mes quelques reponses :

1/ $\rm \forall x\in A, x\le f(x)$ donc pour $\rm a=f(x)$ on a que $\rm \forall x\in A, x\le a$ c'est a dire que $\rm a$ majore $\rm A$ et c'est de plus le plus petit des majorants donc la borne superieure.

2/ Nous venons d'etablir que $\rm a=f(x)$ est la borne superieure de $\rm A$ ; or $\rm f(x)$ est a valeurs dans $\rm [0,1]$ donc $\rm a\in[0,1]$.

3/ Pour $\rm x=a$ on a $\rm A=\{a\in[0,1] | a\le f(a)\}$ soit $\rm \forall a\in A, a\le f(a)$ donc $\rm f(a)$ majore $\rm A$.
  • Je n'arrive pas a montrer que $\rm a\in A$
4/ On suppose que $a=1$ ; or $\rm a=f(x)$ donc $\rm f(x)=1$
  • Mis a part le fait que $\rm f(x)=1$ je n'aboutit pas aux résultats demandés
5/ et 6/
  • Je n'y arrive pas peut etre a cause des questions précédentes ?
---

Voila je remercie celui ou celle qui me viendra en aide et d'avance merci.
maskou
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Re: [Licence] Ensemble, Fonction

Message non lu par maskou »

Kazik a écrit : 1/ $\rm \forall x\in A, x\le f(x)$ donc pour $\rm a=f(x)$ on a que $\rm \forall x\in A, x\le a$ c'est a dire que $\rm a$ majore $\rm A$ et c'est de plus le plus petit des majorants donc la borne superieure.
Ton $a$ dépend de $x$!! donc c'est surement pas une borne sup.
En revanche $A$ est majoré car $f$ est bornée
De plus $A$ est non vide( cherche pourquoi c'est facile)
$A$ est une partie de $\R$...

Repars de là ce sera des bases pluq saines et pense à utiliser dans la suite que $a$ est une borne sup: le plus petit des majorants donc (souvent on procède avec des raisonnements par l'absurde et on exhibe un majorant plus petit que le sup...)
MASKOU
Kazik

Re: [Licence] Ensemble, Fonction

Message non lu par Kazik »

Kazik a écrit :Bonsoir,
1/ Montrer que $\rm A$ admet une borne supérieure que l'on note $\rm a$
Aie !!

ok alors : $\rm f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ donc $0\le f(x)\le 1$ or $\rm \forall x\in A, x\le f(x)$ soit $\rm \forall x\in A, x\le 1$ donc 1 est un majorant et le plus petit donc la borne sup
est-ce correct ?

je ne saisi pas pourquoi vous dites :
"De plus $A$ est non vide( cherche pourquoi c'est facile)
$A$ est une partie de $\R$... "

il faut démontrer aussi ceci ?

merci encore.
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

1 est bien majorant, mais rien ne justifie que c'est le plus petit.

Il faut connaitre le théorème suivant (qui est assez fondamental) :
Toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure.
greyeu

Message non lu par greyeu »

Salut !
Le théorème c'est : toute partie non vide de $\R$ majorée admet une borne sup. Donc il faut qu'elle soit non vide, sinon pas de borne sup !

Par contre tu ne sais pas si $a=1$. Ta fonction peut très bien rester toujours plus petite que $\displaystyle \frac{1}{2}$ par exemple, et dans ce cas ce ne sera pas $1$. Par contre tu sais qu'elle est plus petite que $1$ (ou égale)...
Dernière modification par greyeu le lundi 07 novembre 2005, 21:54, modifié 1 fois.
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

f est-elle supposé continue?
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ash'Ka a écrit :f est-elle supposé continue?
non.
Ash'Ka a écrit :1 est bien majorant, mais rien ne justifie que c'est le plus petit.

Il faut connaitre le théorème suivant (qui est assez fondamental) :
Toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure.
Ok donc il faut que je montre que c'est non vide ... mais je ne vois pas comment !

1 est majorant mais pas le plus petit donc ce n'est a priori pas une borne sup mais comment montrer qu'il existe une borne sup ?
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

il suffit de montrer que A est non vide
On a obligatoirement $0 \le f(0)$ donc 0 est dans A donc A est non vide.
Partie de $\R$ non vide et majorée...
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ash'Ka a écrit :il suffit de montrer que A est non vide
On a obligatoirement $0 \le f(0)$ donc 0 est dans A donc A est non vide.
Partie de $\R$ non vide et majorée...
je ne comprend pas bien votre déduction du fait que $0 \le f(0)$ implique que 0 est dans A
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

Pour le 2. Je sais pas si tu as vu ce qu'était l'adhérence d'un ensemble.

Dans tout les cas, tu peux dire qu'il existe une suite d'élément de A qui converge vers la borne sup. Et puisque les éléments de A sont des éléments de [0,1] alors, forcément, la-dites suite converge dans [0,1] (car [0,1] est fermé)
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ash'Ka a écrit :Pour le 2. Je sais pas si tu as vu ce qu'était l'adhérence d'un ensemble.

Dans tout les cas, tu peux dire qu'il existe une suite d'élément de A qui converge vers la borne sup. Et puisque les éléments de A sont des éléments de [0,1] alors, forcément, la-dites suite converge dans [0,1] (car [0,1] est fermé)
l'adhérence on a du voir cela rapidement mais ...

pour ce qui concerne la suite vous dites :
Dans tout les cas, tu peux dire qu'il existe une suite d'élément de A qui converge vers la borne sup.

comment ca ?
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

Pour le 3.

On sait que $\forall x \in A, x \le f(x)$
Et que $\forall x \in A, x \le a$ Puisque $f$ est croissante, on a donc $\forall x \in A, x \le f(x) \le f(a)$ donc $\forall x \in A, x \le f(a)$
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ash'Ka a écrit :Pour le 3.

On sait que $\forall x \in A, x \le f(x)$
Et que $\forall x \in A, x \le a$ Puisque $f$ est croissante, on a donc $\forall x \in A, x \le f(x) \le f(a)$ donc $\forall x \in A, x \le f(a)$
ceci Ok j'ai saisi
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

C'est une propriété de la borne sup : la borne sup est définie de la façon suivante :
$a = \sup A \Longleftrightarrow \forall x \in A, x \le a$ et $\forall \varepsilon > 0, \exists x \in A, x \ge a - \varepsilon$

En particulier, a est borne sup,
alors on peut tirer une suite $(x_n)_n$ à valeurs dans $A$ tel que $\forall n \in \N, x_n \ge a - 1/n$

On a alors $\forall n \in \N, a - 1/n \le x_n \le a$ donc d'après le théorème des gendarmes, $(x_n)_n$ converge vers a.
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

Pour la 4.

$a \in A$ donc $a \le f(a)$ or $a = 1$ donc $1 \le f(a)$ mais $im f \subset [0,1]$ donc $f(a) \le 1$
d'où $f(a) = 1$
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ash'Ka a écrit :Pour la 4.

$a \in A$ donc $a \le f(a)$ or $a = 1$ donc $1 \le f(a)$ mais $im f \subset [0,1]$ donc $f(a) \le 1$
d'où $f(a) = 1$
a quoi correspond le "imf" ?
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

A est l'ensemble des x tel que $x \le f(x)$
$0 \le f(0)$ donc $0 \in A$
Je sais pas, c'est évident
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

im f = f([0,1])
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ash'Ka a écrit :A est l'ensemble des x tel que $x \le f(x)$
$0 \le f(0)$ donc $0 \in A$
Je sais pas, c'est évident
dans ce cas :
$1 \le f(1)$ donc $1 \in A$ ?
$2 \le f(2)$ donc $2 \in A$ ?

ou alors j'ai pas saisi .
Ash'Ka

Message non lu par Ash'Ka »

lol, ya aucune raison que $1 \le f(1)$ ni que $2 \le f(2)$ d'ailleurs la fonction n'est pas définie en 2
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