complexe

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antoine
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complexe

Message par antoine »

salut J ai un soucis sur cette ecercice. Soit

$\ds P(x) = -64x\prod_{k=1}^6 \left(x - \sin(\frac {2k\pi}{7})\right)$


montrer $\cos(7x)=P(\cos(x))$

je pense que je dois lineariser cos(7x) et reduire P mais je n arrive pas à le reduire, Comment puis je y arriver

[edit guiguiche : \Large ne sert à rien en mode mathématique, du moins je crois]

guiguiche
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Message par guiguiche »

Déjà, que donne la linéarisation de cos(7x) ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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antoine
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Message par antoine »

on utlise la formule de moivre et avec les coefficeint du binome
je trouve
cos(7x)= cos^7(x) - 21sin^2(x)*cos^4(x) + 35cos^3(x)*sin^4(x) - 7cos(x)*sin^6(x)

guiguiche
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Message par guiguiche »

Une erreur de recopie : exposant 5 sur le cosinus au deuxième terme.

Pour poursuivre, il serait peut-être judicieux de transformer tous les sin en cos (puisque ton polynôme est en cos).
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antoine
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Message par antoine »

oui j ai mal recopieé
cos(7x)= cos^7(x) - 21sin^2(x)*cos^5(x) + 35cos^3(x)*sin^4(x) - 7cos(x)*sin^6(x)

en se servant du fait que sin^2(x)+cos^2(x)=1

je trouve cos(7x)=64 cos^7(x) - 112 cos^5(x) + 56 cos^3(x) - 7 cos(x)

guiguiche
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Message par guiguiche »

OK (je n'ai pas vérifié le résultat mais c'est la bonne méthode).
Ensuite, développe P(cos(x)) en remarquant qu'il y a des termes qui se ressemblent pour k=1 et k=6, k=2 et k=5, ...
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antoine
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Message par antoine »

je remarque en effet que
sin(2pi/7)= sin(pi-2pi/7)=sin(5pi/7) et que sin(12pi/7)= -sin(pi+12pi/7)=-sin(5pi/7)

donc P(x) = 64 cos (x) *( cos^2_x - sin^2(5pi/7) *( cos^2_x - sin^2(3pi/7) * *( cos^2_x - sin^2(pi/7)

(il n y a pas de - dans l expression de P(x) )
mais que dois faire ensuite developper me semble tro compliquer il doit y avoir une autre methode mais je ne vois pas laquelle

guiguiche
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Message par guiguiche »

antoine a écrit :je remarque en effet que
sin(2pi/7)= sin(pi-2pi/7)=sin(5pi/7) et que sin(12pi/7)= -sin(pi+12pi/7)=-sin(5pi/7)

donc P(x) = 64 cos (x) *( cos^2_x - sin^2(5pi/7) *( cos^2_x - sin^2(3pi/7) * *( cos^2_x - sin^2(pi/7)

(il n y a pas de - dans l expression de P(x) )
mais que dois faire ensuite developper me semble tro compliquer il doit y avoir une autre methode mais je ne vois pas laquelle
Ca commence à être difficilement lisible sans LaTeX.

Code : Tout sélectionner

$\sin(\frac{2\pi}{7}) = \sin(\pi-\frac{2\pi}{7}) = \sin(\frac{5\pi}{7})$ et que $\sin(\frac{12\pi}{7})= -\sin(\pi+\frac{12\pi}{7}) = -\sin(\frac{5\pi}{7})$
qui donne :
$\sin(\frac{2\pi}{7}) = \sin(\pi-\frac{2\pi}{7}) = \sin(\frac{5\pi}{7})$ et que $\sin(\frac{12\pi}{7})= -\sin(\pi+\frac{12\pi}{7}) = -\sin(\frac{5\pi}{7})$

Edite ton message pour corriger comme j'ai écrit.
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antoine
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re

Message par antoine »

on trouve

$P(\cos(x)) = 64\cos(x)(\cos(x)-\sin(\frac{5\pi}{7})(\cos(x)-\sin(\frac{3\pi}{7})(\cos(x)-\sin(\frac{\pi}{7}))$

[edit guiguiche : pas mal pour un début en latex, j'ai ajouté des \ devant les fonction sin et cos, elles ne doivent pas être en italique]

antoine
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re

Message par antoine »

bon je vais y arriver (je n ai jamais utiliser latex)

$P(cos(x)) = 64cos(x)(cos^2(x)-sin^2(\frac{5\pi}{7})(cos^2(x)-sin^2(\frac{3\pi}{7})(cos^2(x)-sin^2(\frac{\pi}{7}))$

guiguiche
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Message par guiguiche »

Il faudrait développer encore.
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antoine
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re

Message par antoine »

il faut que je develope en me servant encore du fait que
$1=cos^2(x)+sin^2(x)$

ou est ce que je dois tout develloper ?

antoine
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Message par antoine »

en développant on trouve

Code : Tout sélectionner

[tex]\begin{multline}
P(cos(x))= 64(cos^7(x)-cos^5(x)(sin^2(\frac {pi}{7})+sin^2(\frac {3pi}{7})+sin^2(\frac {5pi}{7})+cos^3(x)(sin^2(\frac {pi}{7})sin^2(\frac {3pi}{7}) \\
+sin^2(\frac {5pi}{7})(sin^2(\frac {pi}{7})+sin^2(\frac {3pi}{7})-cos(x)sin^2(\frac {pi}{7})sin^2(\frac {3pi}{7})sin^2(\frac {5pi}{7}))\end{multline}[/tex]
si je ne me trompe pas.Il faut ensuite que j identifie ce qui cos^5(x) cos^3(x) cos(x)?

antoine
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Message par antoine »

J ai trouver!!!!!
en fait il faut cher les solution de cos(7x)=0
comme 64 est le coefficient du terme dominant
on ecrit

$cos(7x) = 64\prod_{k=1}^6 (cos()x - (\frac {2k\pi}{14}))$


on se sert ensuite du fait que cos(x)=sin(pi/2 +x) et on trouve directement sur la relation

Merci beaucoup pour l aide