[1ère S] Montrer que $nx^n$ tend vers 0 pour $0<x<1$

[Tryphon]

Je dis bien : niveau 1ère S. Donc pas de logarithme, merci. J'ai bien une méthode, mais elle me semble un peu difficile pour un 1ère S. Je ne la donne pas pour pas biaiser la route (ça doit pas être loin d'une contrepèterie ce truc) de ceux qui cherchent.

[Invité]

Si on admet que $\lim_{n\rightarrow +\infty} x^n=0$ pour $0<x<1$, il suffit d'écrire $\lim_{n\rightarrow +\infty} nx^n=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{n}{n+1}\frac{\mathrm{d}x^{n+1}}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(\lim_{n\rightarrow +\infty}x^{n+1})}{\mathrm{d}x}=0$.

Sinon il faut le démontrer avant.

[DUET]

Pour le démontrer (voir post précédent) on passe par les suites : on pose $U_n=x^n$

Par récurrence :
1) on vérifie que ça marche pour les premiers:
$\forall n \qquad U_n>0$ et $U_0>U_1>U_2$ donc comme la suite semble décroissante et qu'elle est positive,

2) on admet que c'est vrai pour $n$ : $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}U_n=0$

3) on va le démontrer pour $n+1$ : $\displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty} U_{n+1} = \displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty} x^{n+1}$$=\displaystyle\lim_{n\rightarrow + \infty} x U_n = x \displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = 0$

[Tryphon]

Hum... :?

1) Tu n'as pas le droit d'échanger une limite et une dérivée. Essaie avec $\sin(n^2x)/n$ pour te convaincre.

2) La récurrence n'est pas au programme de 1ère S (mais le fait que $q^n\rightarrow 0$ quand $-1<q<1$ est admis et peut etre utilisé).

3) Je vois mal comment tu peux faire un passage à la limite dans ta récurrence alors que $$n$$ est le paramètre de ton hypothèse de récurrence.

[DUET]

Ok le coup de la limite et de la dérivée était trop risqué (merci pour l'exemple) !

Pour la récurrence par contre, je croyais que c'était toujours $n$ qui servait de paramètre : quels autres paramètres peut-on utiliser pour montrer qu'une suite $U_n$ possède une certaine propriété ?

[nirosis]

Le truc c'est que tu es au rang $n+1$ alors tu ne peux pas faire tendre $n$ vers l'infini ! Le rang est fixé.

Pour travailler sur les limites de suite, tu ne dois pas faire de récurrence. Ou alors en étant subtil, il faudrait essayer d'introduire un autre paramètre mais je ne pense pas que ce soit utile ici...

[MB]

Je propose un truc (pas très abouti car pas trop le temps), mais je ne suis pas certain que cela soit vraiment au programme de 1ère S. Je pose $u_n=nx^n$. On a alors : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{n} \times x$. Puisque $x < 1$, à partir d'un certain rang $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < \dfrac{1}{k} < 1$. La suite $u_n$ sera donc décroissante à partir d'un certain rang. De plus elle est clairement minorée, donc elle converge. On note $l$ sa limite. On a $u_{n+1} = xu_n+x^{n+1}$. En faisant tendre $n$ vers l'infini, on obtient : $l=x \times l$ et donc $l=0$.

Bon j'ai fait cela très vite et je pense qu'il faudrait faire quelques vérifications (au niveau du programme surtout), mais il y a peut-être quelque chose à exploiter.

[nirosis]

J'allais poster la même méthode (après réflexion plus longue que maître MB bien sûr ). C'est ce qui me semble le plus simple et le plus adapté à quelq'un qui a peu d'outils.

[Tryphon]

Le théorème "toute suite décroissante minorée est convergente" n'est pas au programme de 1ère S. Ni de Terminale S d'ailleurs. Du bestiaire de 1ère S, je pense que seul le théorème des gendarmes est utilisable ici.

[MB]

Le théorème "toute suite décroissante minorée est convergente" n'est pas au programme de 1ère S. Ni de Terminale S d'ailleurs. Du bestiaire de 1ère S, je pense que seul le théorème des gendarmes est utilisable ici.

C'est bien ce que je redoutais. Essayons d'utiliser ce théorème alors. On note $n_0$ le rang à partir duquel $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq \dfrac{1}{k}$ (voir le post précédent). On note alors $v_n=u_{n_0+n}$. Si les suites convergent alors elles ont même limite. De plus, pour tout $n \geq0$, on a $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} \leq \dfrac{1}{k}$, on a donc $v_n \leq \left( \dfrac{1}{k} \right)^n \times v_0$. On conclue via le théorème des gendarmes.

[Tryphon]

Y'a une récurrence... Mais je vois vraiment pas comment l'éviter.

[MB]

Y'a une récurrence... Mais je vois vraiment pas comment l'éviter.

Oui en effet, mais je pense que tu peux éviter de parler de récurrence pour montrer la formule. Tu expliques comment ça marche (pour transformer de proche en proche en produit de fractions) et tu déduis la formule. C'est pas ultra rigoureux mais je pense que ça reste dans le domaine du tolérable et du compréhensible pour les élèves. Donc, je ne pense pas que tu sois obligé d'utiliser le terme 'récurrence' pour démontrer cette formule. Je suis certain qu'ils ont déjà fait des trucs du style (genre pour trouver la formule de la somme des n premiers entiers).

[P.Fradin]

Autre proposition:

Comme $|x|<1$, on peut écrire $|x|=\frac1{1+q}$ avec $q>0$, or $(1+q)^n\geq 1+nq+\frac{n(n-1)}2q^2$ ce qui entraîne $n|x|^n\leq \frac1{1/n+q+(n-1)q/2}$, le résultat en découle.

Evidemment l'inégalité $(1+q)^n\geq 1+nq+\frac{n(n-1)}2q^2$ serait facile à établir avec le binôme de Newton, ou même une récurrence, mais avec ni l'un ni l'autre...

[Tryphon]

Je crois que ça passera. Merci :)

Je regrette beaucoup la disparition de la récurrence en 1ère S. Ca limite énormément les possibilités.

[Petite Souris]

Pour Tryphon : je voulais juste te dire qu'en fait le théorème des suites décroissantes minorées et donc celui des suites croissantes majorées est vu en Tle. Ils partent de ce théorème qu'ils considèrent comme un axiome pour démontrer le théorème des suites adjacentes. C'est juste une petite précision car j'ai l'impression que tu prépares le Capes vu ta question qui spécifie le niveau 1ère S et donc si jamais le jury te pose la question à l'oral au moins tu te tromperas pas.
Bonne journée !

[Tryphon]

Merci, mais en fait, je suis prof de 1ère S :D

Mais tu fais bien de le préciser, d'ailleurs mes collègues m'avaient corrigé hier et j'aurais dû faire mon mea culpa.

[Petite Souris]

Oups Désolée Tryphon !

[nirosis]

Jolie astuce P.Fradin, je me demandais comment utiliser le binôme de Newton la dedans, car je le sentais bien... mais j'avais pas trouvé.
Par contre ça c'est en Terminale le Binôme de Newton, non ?

[MB]

Je crois que ça passera. Merci :)

Tu vas présenter quelle méthode au final ?

[Tryphon]

Vraisemblablement les deux. Celle de P. Fradin me semble plus facile à comprendre pour un 1ère S, mais la tienne propose des raisonnements jolis et utiles plus tard (raisonnements "à partir d'un certain rang", sans calculs) qui toucheront certainement les bons élèves.