Interpolation de Lagrange et d'Hermite

[MB]

Voici un exemple d'utilisation du logiciel Asymptote pour les interpolations de Lagrange et de Hermite.

Voir ici pour les exemples et ici pour le code source.

[P.Fradin]

Salut MB,

Il existe un autre algorithme pour Lagrange qui s'appelle algorithme de Neville qui est particulièrement court. Je me suis amusé à retrouver ainsi la première figure de l'exemple avec TeXgraph:

- on définit la macro f avec la commande: 1/(1+sqr(%1))

- puis un élément Utilisateur avec la commande:

Code : Tout sélectionner

[$a:= -5, $b:=5, $n:=15, $Y:= for k from 0 to n do f(a+k*(b-a)/n) od,
tMin:=a, tMax:=b, Axes(0, 1+i), Width:=8, Courbe(t+i*\f(t),2),
DotStyle:=bigdot, Point( for k from 0 to n do a+k*(b-a)/n+i*Y[k+1] od ),
Color:=red, 
Courbe(  {Algorithme de Neville pts equidistants}
[ $u:=n*(t-a)/(b-a), $S:=Y,
  for $k from 2 to n+1 do
     S:= for $j from 1 to n+2-k do  
           ((-u+j+k-2)*S[j] + (u-j+1)*S[j+1])/(k-1) od
 od, t+i*S], 5)
]

Mais je n'ai pas testé avec Hermite.

[guiguiche]

Je pense que l'auteur de ces pages est inscrit comme membre du forum (OG).

[rebouxo]

En tout cas c'est super intéressant comme problème. Je ne m'étais jamais posé la question. Je savais que les polynômes d'interpolation de Lagrange n'étaient pas bon en pratique, mais j'avais jamais pensé à expérimenter.
Olivier

[MB]

Je pense que l'auteur de ces pages est inscrit comme membre du forum (OG).

Ah oui, c'est possible ça.
J'ai vu ça sur fr.comp.text.tex et l'auteur est aussi O.G. !

[MB]

Salut P.Fradin,

je ne connaissais pas la méthode de Neville (ça pourra peut être intéresser OG). C'est vrai que le code est particulièrement court. On peut vraiment faire beaucoup de choses avec TeXgraph !!

[OG]

Bonjour

Je dois aussi premièrement féliciter les personnes qui s'occupent de ce forum avec les Mimetex insertions, au moins les maths sont lisibles, bravo !

Merci pour l'annonce, si cela peut intéresser d'autres personnes.

Pour l'algorithme de Neville, je connais. Après c'est une question de nombre d'opérations. En gros Neville pour chaque évaluation en x c'est O(n^2). Pour les différences divisées de Newton+Horner c'est 1) O(n^2) pour les diffdiv et une fois que c'est fait on est tranquille : 2) pour chaque x c'est O(n) opérations via Horner.
Les différences divisées de Newton s'interprêtent aussi pour une preuve constructive du lemme chinois, c'est amusant. Remarquer que Neville et les différences divisées se ressemblent énormément.

Cordialement
O.G.

Mise à jour du 27 mars : erreur dans le spline periodique corrigée
(le système linéaire n'était pas le bon).