Linéarisation de cos(x)^n
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Linéarisation de cos(x)^n
Bonjour,
Je crée un nouveau sujet pour ce problème car le précédent semble avoir quelques problème. Je ne peux plus y accéder. Un admin pourra donc supprimer l'ancien post.
Je redis donc le problème.
Je voulais trouver une linéarisation de $\cos^n(x)$.
$$\begin{aligned}
\cos^n(x) & = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^n \\
& = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-k)ix} \, e^{-kix} \\
& = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-2k)ix} \\
\end{aligned}$$
Et là, guiguiche me disait de remarquer que $e^{(n-2k)ix} = e^{nix} \, \left(e^{-2ix}\right)^k$. Sauf que je vois pas trop ce qu'on peut en tirer. Pourrais-tu expliquer un peu plus ?
Je crée un nouveau sujet pour ce problème car le précédent semble avoir quelques problème. Je ne peux plus y accéder. Un admin pourra donc supprimer l'ancien post.
Je redis donc le problème.
Je voulais trouver une linéarisation de $\cos^n(x)$.
$$\begin{aligned}
\cos^n(x) & = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^n \\
& = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-k)ix} \, e^{-kix} \\
& = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-2k)ix} \\
\end{aligned}$$
Et là, guiguiche me disait de remarquer que $e^{(n-2k)ix} = e^{nix} \, \left(e^{-2ix}\right)^k$. Sauf que je vois pas trop ce qu'on peut en tirer. Pourrais-tu expliquer un peu plus ?
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On aurait alors :
$\cos^n(x) = \dfrac{1}{2^n} \, e^{nix} \ds\sum_{k = 0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k$
Il est facile de calculer $\ds\sum_{k=0}^n \left(e^{-2ix}\right)^k$ mais le facteur $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ complique la chose.
On peut toujours transformer l'écriture en disant que :
$\ds\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k = \left(1 + e^{-2ix}\right)^n$
mais cela ne sert à rien.
$\cos^n(x) = \dfrac{1}{2^n} \, e^{nix} \ds\sum_{k = 0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k$
Il est facile de calculer $\ds\sum_{k=0}^n \left(e^{-2ix}\right)^k$ mais le facteur $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ complique la chose.
On peut toujours transformer l'écriture en disant que :
$\ds\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k = \left(1 + e^{-2ix}\right)^n$
mais cela ne sert à rien.
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Pour linéariser, il faut effectivement passer par les complexes comme tu l'as fait mais ensuite il faut regrouper les termes deux à deux (le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant dernier, etc...) pour faire apparaitre des $\cos$ ou des $\sin$.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Oui mais cela marche bien quand on a $n$ défini, comme on l'a fait en cours.
Mais dans le cas général, le développement de l'exposant $n$ ne peut se faire qu'avec le binôme de Newton, sans pouvoir le réduire, et il ne fait pas apparaître plusieurs coefficients qui se regroupent facilement deux à deux.
À moins que je rate quelquechose ?
Mais dans le cas général, le développement de l'exposant $n$ ne peut se faire qu'avec le binôme de Newton, sans pouvoir le réduire, et il ne fait pas apparaître plusieurs coefficients qui se regroupent facilement deux à deux.
À moins que je rate quelquechose ?
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Oui, je suis bête de ne pas y avoir pensé plus tôt.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Un peu d'autopromotion.
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Avec un $n$ arbitraire c'est exactement la même chose : il suffit de séparer ta somme en deux parties (tu auras à différencier $n$ pair de $n$ impair) et à changer d'indice dans la deuxième somme pour pouvoir faire l'appariement (tu compteras dans l'ordre décroissant au lieu de croissant) avec la première somme.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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- Inscription : mercredi 21 mars 2007, 10:59
J'ai trouvé ca dans un livre (Analyse MPSI de J.M. Monier):
linéarisation de $\cos^p$.
Premier cas: $p$ est paire, on prend $p=2m,~m \in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \cos^{2m}(x)=2^{-(2m-1)}\left(1/2 {2m \choose m}+\sum_{k=0}^{m-1}{2m \choose k} \cos(2(m-k).x)\right)$
Deuxième cas: $p$ est impaire, $p=2m+1,~m\in\mathbb{N}^*$.
$\displaystyle \cos^{2m+1}(x)=2^{-2m}\sum_{k=0}^{m}{2m+1 \choose k} \cos((2m+1-2k).x)$
linéarisation de $\cos^p$.
Premier cas: $p$ est paire, on prend $p=2m,~m \in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \cos^{2m}(x)=2^{-(2m-1)}\left(1/2 {2m \choose m}+\sum_{k=0}^{m-1}{2m \choose k} \cos(2(m-k).x)\right)$
Deuxième cas: $p$ est impaire, $p=2m+1,~m\in\mathbb{N}^*$.
$\displaystyle \cos^{2m+1}(x)=2^{-2m}\sum_{k=0}^{m}{2m+1 \choose k} \cos((2m+1-2k).x)$
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- Modérateur général
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- Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50
Bonjour,
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
Dans un cas particulier, il suffit de repartir de la formule d'Euler, et de développer à l'aide de la formule du binôme...
Alors pour Tunaki, essaie de transformer par exemple $\cos ^3 x$, $\cos^4 x$ et tu verras comment ça marche
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
Dans un cas particulier, il suffit de repartir de la formule d'Euler, et de développer à l'aide de la formule du binôme...
Alors pour Tunaki, essaie de transformer par exemple $\cos ^3 x$, $\cos^4 x$ et tu verras comment ça marche
Pas d'aide par MP.
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- Utilisateur éprouvé
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- Inscription : mardi 12 décembre 2006, 18:03
Re: Linéarisation de cos(x)^n
suite à cet article qui date quand même de 2007 je me permets de répondre sachant qu'en effectuant mon master j'ai réalisé en 1999 une recherche sur la linéarisation cos(x)^n et sin(x)^n sans passer par la formule d'Euler (c'est-à-dire les exponentiel). Si vous voulez plus de détails concernant cette étude je me ferais une joie de vous les fournir sachant que cet essaie est publié et enregistré sous modèle mathématique par un logiciel qui fonctionne sous windows. Qui plus est, mon modèle est plus simple que celui trouvé dans le livre : Analyse MPSI de J.M. Monier. pour lequel je me suis appuyer sur les recherches de Newton et Pascal.
Donc bonne recherche et bonne découverte
Bonnes fêtes de fin d'année...
Donc bonne recherche et bonne découverte
Bonnes fêtes de fin d'année...
Re: Linéarisation de cos(x)^n
Salut, cela m'intéresse de voir les travaux dont tu parles.
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- Utilisateur débutant
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- Inscription : mardi 18 février 2014, 08:18
Re: Linéarisation de cos(x)^n
Bonjour,
J'ai des formules que j'ai établies en 2004 sur ce même sujet, et elles sont vraiment très simples. Veuillez les consulter en suivant le lien ci-dessous:
http://yakamyale.over-blog.com/article- ... 33204.html
Veuillez y laisser des commentaires svp
J'ai des formules que j'ai établies en 2004 sur ce même sujet, et elles sont vraiment très simples. Veuillez les consulter en suivant le lien ci-dessous:
http://yakamyale.over-blog.com/article- ... 33204.html
Veuillez y laisser des commentaires svp
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- Administrateur
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- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
Re: Linéarisation de cos(x)^n
Sacré déterrage de topic !
Par ailleurs l'article indiqué est peut être intéressant mais difficilement lisible.
Par ailleurs l'article indiqué est peut être intéressant mais difficilement lisible.
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- Utilisateur débutant
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- Inscription : mardi 18 février 2014, 08:18
Re: Linéarisation de cos(x)^n
Bonjour, si quelqu'un a des difficultés à lire sur mon blog, me contacter à l'adresse desbocages-mathematex@yahoo.fr pour que je puisse lui filer une copie pdf du document. Je reconnais que le blog est fait d'images parfois difficiles à lire.
Sincèrement,
Desbocages.
Sincèrement,
Desbocages.
Re: Linéarisation de cos(x)^n
Bonjour !!
Je suis formateur en mathématiques (débutant ^^), et j'ai un problème : je dois enseigner la linéarisation à des jeunes qui ne connaissent pas le binôme de Newton, ni les combinaisons, ni l'outil somme...
Qui ont normalement connaissance des formules d'Euler et Moivre...
Sauriez-vous comment vous y prendre, par exemple, pour linéariser cos^5(x) ?
Sans Newton, on peut développer manuellement, mais cela me semble peu intéressant...
Merci d'avance, en espérant ne pas poster au mauvais endroit ^^
Tinou
Je suis formateur en mathématiques (débutant ^^), et j'ai un problème : je dois enseigner la linéarisation à des jeunes qui ne connaissent pas le binôme de Newton, ni les combinaisons, ni l'outil somme...
Qui ont normalement connaissance des formules d'Euler et Moivre...
Sauriez-vous comment vous y prendre, par exemple, pour linéariser cos^5(x) ?
Sans Newton, on peut développer manuellement, mais cela me semble peu intéressant...
Merci d'avance, en espérant ne pas poster au mauvais endroit ^^
Tinou
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- Modérateur général
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- Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50
Re: Linéarisation de cos(x)^n
Bonjour,
Tu ne cherches pas à former des matheux non ? mais des gens qui sachent utiliser ces outils pour les études, non ? d'où ma première question
quel niveau ? bac +1 ? bac + 2 ou autre ? en formation classique ou pour adulte ou autre ?Tinou a écrit :
Je suis formateur en mathématiques (débutant ^^), et j'ai un problème : je dois enseigner la linéarisation à des jeunes
ce n'est pas un problème. Ce peut être justement le moment de l'introduire à l'issue.Tinou a écrit :qui ne connaissent pas le binôme de Newton, ni les combinaisons, ni l'outil somme...
Euler suffitTinou a écrit : Qui ont normalement connaissance des formules d'Euler et Moivre...
Déjà à la main je ne le fais pas faire. Je m’arrête à puissance 4, car ça commence à être pénible.Tinou a écrit : Sauriez-vous comment vous y prendre, par exemple, pour linéariser cos^5(x) ?
Tu ne cherches pas à former des matheux non ? mais des gens qui sachent utiliser ces outils pour les études, non ? d'où ma première question
Déjà ils devraient connaître $(a+b)^2$, ensuite tu peux leur faire faire à la main $(a+b)^3$ et $(a+b)^4$. A l'issue, ben introduction du triangle de Pascal, et interprétation de ce triangle pour les développements de $(a+b)^n$ et ensuite formule de celui qui a pris la pomme sur la tête pendant sa sieste.Tinou a écrit : Sans Newton, on peut développer manuellement, mais cela me semble peu intéressant
Pas d'aide par MP.
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- Inscription : vendredi 28 juillet 2017, 23:29
Re:
J'ai longtemps cru que ce genre de formule ne sert à rien en pratique. Et un jour j'ai croisé cet exercice :kojak a écrit :Bonjour,
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
On pose $p=2n+1$ et l'on suppose que $p$ est premier. Montrer que
$$\mathopen{(}-1\mathclose{)}^{n}(2n)!\equiv2^{4n}\mathopen{(}n!\mathclose{)}^{2}\pmod{p^{2}}.$$
L'exercice est posé tel quel, sans aucune indication, dans un bouquin d'arithmétique de 1894.