Conjecture de Goldbach vraie! Démonstration

Discussions générales concernant les mathématiques.
[forum modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
Algibri

Conjecture de Goldbach vraie! Démonstration

Message par Algibri »

La conjecture de Goldbach qui stipule que tout nombre pair est somme de deux nombres premiers est vraie.
En voici une démonstration simple.


1. Tout nombre pair peut s'écrire sous la forme générique:

6n + k

avec k = 0
ou bien k=2
ou bien k= -2

et n supérieur ou égal à 0

2. Tout nombre pair sera par conséquent égal à la somme de deux nombres de la forme :

6m +- 1

En effet 6n + k = 6m1 +-1 + 6m2 +- 1
= 6*(m1+m2) + 0 (ou +2 ou -2)

3. Comme les nombres premiers s'écrivent TOUS sous la forme : p = 6n +-1, il en résulte que tout nombre pair étant égal à la somme de deux nombres de la forme 6m+-1, est nécessairement somme de deux premiers.

4. Toute solution de la forme 6n+-1, englobera nécessairement deux nombres premiers.

nirosis
Administrateur
Administrateur
Messages : 1803
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:48
Localisation : Orsay, France

Re: Conjecture de Goldbach vraie! Démonstration

Message par nirosis »

Algibri a écrit :Comme les nombres premiers s'écrivent TOUS sous la forme : p = 6n +-1
Ah c'est nouveau ça.
Désolé tu ne seras pas milliardaire cette fois. :roll:

Algibri

Re: Conjecture de Goldbach vraie! Démonstration

Message par Algibri »

nirosis a écrit :
Algibri a écrit :Comme les nombres premiers s'écrivent TOUS sous la forme : p = 6n +-1
Ah c'est nouveau ça.
Désolé tu ne seras pas milliardaire cette fois. :roll:
La conjecture de Golbach n'est pas valable pour n=2.
Il est évident que je parle des nombres premiers égaux ou supérieurs à 5.

jobherzt
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 433
Inscription : vendredi 13 janvier 2006, 13:13

Message par jobherzt »

sans vouloir te vexer, tu viens de demontrer que socrate est un chat... autrement dit ton raisonnement est faux d'un point de vue logique.... effectivement, en prenant toutes les couples (6a+-1,6b+-1) dont la somme vaut n, on va parcourir tous les nombres premiers inferieurs a n. mais rien ne prouve qu'on va tomber sur un couple de premier, il se peut que 6a+-1 soit premier, mais pas 6b+-1...

Algibri

Message par Algibri »

jobherzt a écrit :sans vouloir te vexer, tu viens de demontrer que socrate est un chat... autrement dit ton raisonnement est faux d'un point de vue logique.... effectivement, en prenant toutes les couples (6a+-1,6b+-1) dont la somme vaut n, on va parcourir tous les nombres premiers inferieurs a n. mais rien ne prouve qu'on va tomber sur un couple de premier, il se peut que 6a+-1 soit premier, mais pas 6b+-1...
Tu as raison.
Ce que je montre en fait c'est que tout nombre pair peut s'écrire comme une somme de deux nombres ayant la forme générique d'un nombre premier 6n+-1.
Et rien d'autre.

Merci.

jobherzt
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 433
Inscription : vendredi 13 janvier 2006, 13:13

Message par jobherzt »

je t'en prie :)

Algibri

Message par Algibri »

jobherzt a écrit :je t'en prie :)
En réfléchissant un peu plus à la question, je pense être sur la bonne piste car ce qui est certain c'est que sur les couples (6a+11,6b+-1), il y a de fortes chances pour que les deux soient simultanément premiers.
Si on prend A=2n et que l'on soustrait à tour de rôle tous les nombres premiers inférieurs à n, il serait presque impossible que le mnombre restant ne soit pas premier.
Il faut que A- 3, A-5, A-7, A-11, A-13, etc... A-p(k) avec p(k) immédiatement inférieur à n, soient TOUS composés.
Si on arrive à prouver que c'est impossible, la conjoncture serait vraie.
Si en revanche on peut trouver un A qui solutionne
A-3 composé
A-5 composé
A-7 composé etc..
A-p(k) composé
la conjecture serait fausse.

Je ne sais pas si on peut par le théorème des restes chinois trouver ce nombre A.
Si on peut prouver que l'on peut le faire ne serait-ce que théoriquement, on peut déclarer que la conjecture est fausse.
Moi, je doute en me basant uniquement sur les probabilités d'avoir un nombre A qui vérifie toutes conditions (citées plus haut).

jobherzt
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 433
Inscription : vendredi 13 janvier 2006, 13:13

Message par jobherzt »

effectivment, ce serait tres etrange que parmi tous les nombres 2n-3, 2n-5, 2n-7, 2n-11, etc... il n'y ait pas au moins un nombre premier.. c'est bien pour ca que cette conjecture a ete formulée, c'est que ca semblerait tres etrange qu'elle soit fausse !! mais ca ne veut pas dire qu'elle est vraie pour autant, et encore moins qu'elle peut se demontrer par des moyens elementaires.

et je ne pense pas que le th des restes chinois nous aide ici.

Algibri

Message par Algibri »

jobherzt a écrit :effectivment, ce serait tres etrange que parmi tous les nombres 2n-3, 2n-5, 2n-7, 2n-11, etc... il n'y ait pas au moins un nombre premier.. c'est bien pour ca que cette conjecture a ete formulée, c'est que ca semblerait tres etrange qu'elle soit fausse !! mais ca ne veut pas dire qu'elle est vraie pour autant, et encore moins qu'elle peut se demontrer par des moyens elementaires.

et je ne pense pas que le th des restes chinois nous aide ici.
Il y a quand même un élément en faveur de la fausseté de la conjoncture.
Si on prend la liste des nombres impairs de 3 à m et que l'on note 1 les nombres premiers et 0 les nombres composés, on aurait une longue chaîne de 0 et de 1.
11101101 ......
Il n'est pas exclu vu la plus grande densité des nombres composés, de trouver une chaîne inverse dans laquelle TOUS les 1 correspondraient aux zéros de cette chaîne. La chaîne finirait en prenant l'exemple 11101101 (3,5,7,9,11,13,15,17) par 00010010 (les 1 ici pouvant être également des zéros ce seraient des composés symétriques à des composés).
En termes de combinatoire, il est très probable qu'une chaîne pareille existe.
A serait sûrement un très très grand nombre.
Je me suis amusé à chercher des nombres pairs qui solutionnent A-3, A-5,A-7, A-11 etc.... composés, je suis tombé sur le nombre 308 qui solutionne de A-3 à A-29
et je me suis dit si on peut répertorier ces nombres en créant une suite avec rang ..
rang 1 : 12 (12-3=9)
rang 2 : 30 (30-3=27, 30-5=25)
rang 6 : 98 (98-3=95, 98-5=93, 98-7=91, 98-11=87, 98-13=85, 98-19=81 )
rang 4 : 122
rang 6 : 128
etc....

J'ai fait une erreur sur le nombre 98 qui est de rang 6. D'ailleurs cela m'a fait tiquer un écart aussi grand entre 30 et 98.

Cela permettrait de mieux comprendre le processus.
Faut un petit programme pour générer une liste assez longue pour voir.
Je suis en train de faire ça sur un tableur.

Algibri

6008!

Message par Algibri »

Je trouve le nombre 6008 qui passe les tests des nombres premiers de 3 à 113.

6008 - k (avec k variant de 3 à 113) est toujours composé.

Il doit bien exister un nombre (certainement très très grand) qui casse la conjecture de Goldbach.
Ce nombre serait de la forme
A = 8+30*n
= 2*(4+15*n)

Algibri

Message par Algibri »

Quand j'ai parlé de restes chinois, j'avais en tête l'idée de procéder par élimination en travaillant sur l'équation mod(A,x)

Exemple:
Si A=2n vaut 2 en modulo 3
cela donne donne A - (6n-1) et cela rend la différence égale à 0 en modulo 3.
Tous les nombres de la forme 6n-1 sont éliminés
A - (6n-1) sera toujours divisible par 3.

On procède de la même façon en introduisant un moyen d'éliminer certaines formes des nombres 6n+1
etc...

On obtiendrait un nombre A ayant une certaine forme et permettant d'éliminer les 6n+1

Je suis parvenu à A = 30n + 8
On peut affiner la forme du A de manière telle que :
tous les nombres de la forme 6n +-1 soient "éliminés" rendant
le nombre (A - (6n+-1)) toujours composé.

Rémi
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 168
Inscription : samedi 04 juin 2005, 19:39
Statut actuel : Autre

Message par Rémi »

Tiens tu as émigré ici, toi. :)
Par contre tu sembles , ici, faire plus d'efforts que d'autre endroit où j'ai pu te croiser. Bonne continuation dans tes recherches.