[MPSI] Développements limités

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pouik
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[MPSI] Développements limités

Message par pouik »

Bonsoir,
Je bloque dès la première question de ce bout de problème... Ca commence mal ! donc si vous pouviez m'aider ce serait genial. Merci d'avance.

On désigne par $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(w_n)_{n \in \N^*}$ les suites de terme général $u_n = \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}$ et $w_n = \ln{n!} - \ln{u_n}$.

1. Soit $\phi_0$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par $\phi_0(x) = x - \dfrac{1}{2} \ln{\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)}$.
(a) Déterminer le signe de $\phi_0(x)$ selon la position de $x$ dans $]-1;1[$.
(b) Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $w_{n+1} - w_n = (2n+1) \phi_0 \left(\dfrac{1}{2n+1}\right)$.
(c) En déduire que $(w_n)_{n \in \N^*}$ est monotone et préciser sa monotonie.
2. (a) A l'aide d'un développement limité, déterminer un équivalent simple de $\dfrac{\phi_0(x)}{x}$ au voisinage de $0$.
(b) En déduire un équivalent simple de $w_{n+1} - w_n$.


Donc dès la première je n'y arrive pas : j'ai essayé de faire l'étude de la fonction mais ca n'aboutit pas !! Comment faire ??

tigris
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Message par tigris »

$\rm{Argth}(x)=\dfrac{1}{2}\ln{\dfrac{1+x}{1-x}}$. Cela ne t'aide-t-il pas ?

davou03
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Message par davou03 »

Salut

Que trouves-tu comme dérivée et as-tu calculé $ \phi_0(0) $ ?

Au fait, le sujet s'arrète-t-il là ou est-ce une démo de la formule de Stirling ?

pouik
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Message par pouik »

Bonjour,
J'avais remarqué l'égalité avec $argth$ mais je ne pense pas que ca serve pour l'instant. Sinon le sujet ne s'arrete pas là et effectivement c'est une demo du theoreme de Stirling !!

Pour la dérivée je la mets tout à l'heure car là je dois partir...

pouik
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Message par pouik »

donc pour la dérivée, je trouve :
$$\phi'_0(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2 - 1}$$

soit : $$\phi'_0(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$$

donc $\phi_0$ est donc strictement décroissante sur $]-1;1[$.

Or : $$\phi'_0(0) = 0$$

donc on a le signe de $\phi_0$. Non ??

kojak
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Message par kojak »

Bonjour Pouik,

Oui, c'est ça... donc tu peux conclure pour le signe de ta fonction.
Pas d'aide par MP.

pouik
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Message par pouik »

okay.
Pour la question (b), dois-je partir de $w_{n+1} - w_n$ ?? ou du résultat ?? ie du membre de droite.

guiguiche
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Message par guiguiche »

Membre de gauche a priori.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

pouik
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Message par pouik »

Je trouve mais après je suis bloqué :
$$w_{n+1} - w_n = \ln{(n+1)} - \ln{\left[\dfrac{(n+1)^{n+1} \sqrt{n+1}}{n^n \sqrt{n} e}\right]}$$
Dernière modification par pouik le vendredi 13 avril 2007, 19:02, modifié 1 fois.

davou03
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Message par davou03 »

Le n + 1 est entre parenthèse, je crois.
Essaie d'écrire les racines sous forme de puissances, ça peut aider... puis propriétés du ln...

pouik
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Message par pouik »

d'où :
$$w_{n+1} - w_n = \ln{\left[\dfrac{n^{n+\frac{1}{2}} e}{(n+1)^{n+\frac{1}{2}}}\right]}$$

Non ??

davou03
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Message par davou03 »

Voilà, puis sort le e et l'exposant, ensuite tu devrais obtenir la même chose en partant de l'autre côté.

pouik
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Message par pouik »

okay pour la (b).

Pour la (c), le signe de ce truc est un peu compliqué !! Y-at-il une facon de le simplifier ??

Merci d'avance.

kojak
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Message par kojak »

Ben faut que tu te serves de la 1a) avec $x=\dfrac{1}{2n+1}$ non :roll:
Pas d'aide par MP.

pouik
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Message par pouik »

donc comme $\dfrac{1}{2n+1} > 0$, on a $(w_n)$ strictement croissante.

Est-ce correct ??

kojak
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Message par kojak »

Oui, c'est correct....
Pas d'aide par MP.

pouik
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Message par pouik »

Bonjour,
Pour la 2.(a),
J'ai fais un $DL_3(0)$ et je trouve l'équivalent suivant : $-\dfrac{x^2}{3}$

Est-ce correct ??

Sinon pour la question suivante, je ne vois pas du tout comment procéder !?

kojak
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Message par kojak »

Oui, c'est bon...
Pour la 2b), c'est l'application de la 2a) avec $x=\dfrac{1}{2n+1}$ non....
Pas d'aide par MP.

pouik
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Message par pouik »

donc c'est : $$-\dfrac{1}{3(2n+1)}$$

Non ??

kojak
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Message par kojak »

Ben j'crois pas : il manque un carré non :roll: et tu peux encore le simplifier...
Pas d'aide par MP.