Dérivée, théorème de Rolle

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marion.c.21

Dérivée, théorème de Rolle

Message non lu par marion.c.21 »

Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant:
On pose pour x dans R et n dans N $P_n=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n(x^2-1)^n}{dx^n}$
1) Montrer que Pn est une fonction polynômiale de degré n, paire (resp. impaire) si n est pair (resp. impair)
2) Montrer que Pn(1)=1 En déduire Pn(-1)
3) Montrer que Pn admet n zéros distincts entre -1 et 1

Je ne vois pas trop comment m'y prendre avec cet exo, pour la question 3, je vois comment faire , en utilisant le théorème de Rolle mais pour les deux premières questions, je ne vois pas.
Ce n'est peut-être pas compliqué mais j'ai été absente (à cause de la JAPD) quand on a fait le cours sur ce chapitre et j'ai du mal.
Merci d'avance pour votre aide
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Pour la première question il n'y a aucune difficulté : il suffit d'appliquer $n$ fois les formules
$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg Q$
$\deg (P')=\deg (P)-1$ (si $P\ne 0$)

Pour la deuxième question c'est un peu plus difficile : appliquer la formule de Leibniz pour trouver la dérivée $n^{\rm e}$ de $(X^2-1)^n$
Ecrire $(X^2-1)^n=(X-1)^n(X+1)^n$
Ensuite appliquer ce qu'on obtient en 1 (il y a beaucoup de termes qui sont nuls)
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Pour la parité, il faut utiliser le fait que si $P$ est pair, alors $P'$ est impair, et si $P$ est impair, alors $P'$ est pair
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Soit $T_n(X)=(X^2-1)^n$ alors $T_n(-X)=T_n(X)$ donc en dérivant n fois: $(-1)^nT^{(n)}_n(-X)=T^{(n)}_n(X)$ d'où $P_n(-X)=$...

Pour la dernière question, montrer par récurrence sur $k$ que si $k\leq n$ alors $T^{(k)}_n(X)$ s'annule k fois dans $]-1;1[$ (Rolle)
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