[3ème] Irrationnalite de racine de 2
[3ème] Irrationnalite de racine de 2
Bonjour,
Merci pour vos réponses à mon dernier message.
Comment peut on démontrer l'irrationnalite de racine de 2 par récurrence s'il vous plait. Par l'absurde pas de soucis mais par récurrence?? :( :? (je me place niveau 3ème)
Merci d'avance.
Merci pour vos réponses à mon dernier message.
Comment peut on démontrer l'irrationnalite de racine de 2 par récurrence s'il vous plait. Par l'absurde pas de soucis mais par récurrence?? :( :? (je me place niveau 3ème)
Merci d'avance.
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Tu peux tenter le développement en fractions continues du nombre $\sqrt{2}$.
[edit]
exemples :
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+ \ldots}}} \\$
$\sqrt{2}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+ \ldots}}}$
[/edit]
Tu verras que le développement est infini pour $\sqrt{2}$, alors que pour un nombre rationnel, il est toujours fini.
C'est détaillé ici : http://www.mission-laique.asso.fr/ensei ... m51p45.pdf
Tu peux te débrouiller pour en faire une récurrence a priori.
En fait, ça ne fait manier que des divisions et des fractions donc ca devrait être bon pour des 3ème.
[edit]
exemples :
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+ \ldots}}} \\$
$\sqrt{2}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+ \ldots}}}$
[/edit]
Tu verras que le développement est infini pour $\sqrt{2}$, alors que pour un nombre rationnel, il est toujours fini.
C'est détaillé ici : http://www.mission-laique.asso.fr/ensei ... m51p45.pdf
Tu peux te débrouiller pour en faire une récurrence a priori.
En fait, ça ne fait manier que des divisions et des fractions donc ca devrait être bon pour des 3ème.
Dernière modification par nirosis le mercredi 08 juin 2005, 18:23, modifié 2 fois.
nirosis
Lisez le tutoriel sur LaTeX
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À part que le développement que tu as donné est celui du nombre d'or et pas $\sqrt{2}$ ;-)
Celui de $\sqrt{2}$ est égal à $1+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+...}}}$
Celui de $\sqrt{2}$ est égal à $1+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+...}}}$
Il fallait être Newton pour apercevoir que la Lune tombe quand tout le monde voit bien qu'elle ne tombe pas.
Paul Valéry
Paul Valéry
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Oui je sais
Je voulais donner une idée de ce que peut être un développement en fraction continue, n'ayant plus la définition en tête.... Ce cours là commence à dater ! J'ai oublié des bouts...
Je voulais donner une idée de ce que peut être un développement en fraction continue, n'ayant plus la définition en tête.... Ce cours là commence à dater ! J'ai oublié des bouts...
nirosis
Lisez le tutoriel sur LaTeX
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Voici une méthode pour trouver le développement en fraction continue de la racine d'un entier tel que le nombre précédent est un carré parfait : (je donne l'exemple pour $\sqrt{2}$, ça serait pareil pour $\sqrt{5}$, etc...)
$\begin{array}{lcl}
x^2 & = &2\\
x^2-1 & = & 1 \\
(x-1)(x+1) & = & 1 \\
x-1 & = &\frac{1}{x+1}\\
x & = & 1+\frac{1}{x+1} \\
x & = & 1+\frac{1}{2+\frac{1}{x+1}} \\
& ... &
\end{array}$
Plus généralement pour $\sqrt{n^2+1}$, le développement en fraction continue est :
<center>$\sqrt{n^2+1}= n +\displaystyle\frac{1}{2n+\displaystyle\frac{1}{2n + ...}}$</center>
Pour le nombre d'or, qui est racine de l'équation $x^2=x+1$, c'est encore plus simple :
$\begin{array}{lcl}
x^2 & = &x+1\\
x & = & 1 + \frac{1}{x} \\
x & = & 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \\
& ... &
\end{array}$
$\begin{array}{lcl}
x^2 & = &2\\
x^2-1 & = & 1 \\
(x-1)(x+1) & = & 1 \\
x-1 & = &\frac{1}{x+1}\\
x & = & 1+\frac{1}{x+1} \\
x & = & 1+\frac{1}{2+\frac{1}{x+1}} \\
& ... &
\end{array}$
Plus généralement pour $\sqrt{n^2+1}$, le développement en fraction continue est :
<center>$\sqrt{n^2+1}= n +\displaystyle\frac{1}{2n+\displaystyle\frac{1}{2n + ...}}$</center>
Pour le nombre d'or, qui est racine de l'équation $x^2=x+1$, c'est encore plus simple :
$\begin{array}{lcl}
x^2 & = &x+1\\
x & = & 1 + \frac{1}{x} \\
x & = & 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \\
& ... &
\end{array}$
Il fallait être Newton pour apercevoir que la Lune tombe quand tout le monde voit bien qu'elle ne tombe pas.
Paul Valéry
Paul Valéry
On suppose n sans facteurs carrés, soit $n=p_1^{k_1}\times\cdots\times p_m^{k_m}$ décomposition en facteurs premiers avec tous les exposants impairs, en raisonnant par l'absurde (comme dans le cas de 2) on a $p_1^{k_1}\times\cdots\times p_m^{k_m}\times d^2=q^2$ (avec d et q entiers strictement positifs), or la $p_1$-valuation de l'entier de droite est pair alors que celle du nombre de gauche est impair: contradiction.
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@P.Fradin : Pourquoi supposes-tu que $n$ est sans facteur carré et pas simplement que l'un de ses facteurs premier apparaît un nombre impair de fois ? En gros, on suppose que $n$ n'est pas un carré et on montre que sa racine est irrationnelle. Dans le cas contraire, il est clair que sa racine est entière.
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Je vais essayé de détailler (et d'adapter) un peu le raisonnement de P.Fradin. Soit $n=p^{k} \times n'$ l'écriture de $n$ telle que $p$ soit un nombre premier et que $n'$ soit un entier non divisible par $p$. Puisque $n$ n'est pas un carré, alors il existe un facteur premier (que je note $p$) qui apparaît un nombre impair de fois (et donc $k$ est impair). On suppose alors que $\sqrt{n} = \dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers. En utilisant les même notations, on a : $a=p^{k_a} \times a'$ et $b=p^{k_b} \times b'$ ($k_a$ et $k_b$ peuvent être nuls). Ainsi, on obtient $p^{k} \times n' \times p^{2k_b} \times b'^2 = p^{2k_a} \times a'^2$. A gauche, le facteur premier $p$ apparaît un nombre impair de fois alors qu'à droite il apparaît un nombre pair de fois. D'où la contradiction.
Je vous met ma démonstration tout de même :
Supposons que $\sqrt{n}$ est rationnel non entier , alors il existe un couple d'entiers étrangers (a,b) tels que $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$ .
puisque $\sqrt{n}$ n'est pas entier alors b>1 et nous avons :
$a^{n}=nb^{2}$.
Comme a et b sont étrangers , $a^{2}$ et $b^{2}$ le sont aussi . En effet , nous savons que si p divise a² , alors p divise a donc un diviseur premier commun à a² et b² serait un diviseur premier commun à a et b .
Comme $a^{2}=nb^{2}$ , d'aprés le théoréme de Gauss $a^{2}|n$ ce qui implique $b=1$ => Contradiction
On en déduit que l'hypothése "$\sqrt{n}$ est rationnel et non entier" est absurde donc "$\sqrt{n}$ est irrationnel ou entier" est vérifiée
:)
Jord
Supposons que $\sqrt{n}$ est rationnel non entier , alors il existe un couple d'entiers étrangers (a,b) tels que $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$ .
puisque $\sqrt{n}$ n'est pas entier alors b>1 et nous avons :
$a^{n}=nb^{2}$.
Comme a et b sont étrangers , $a^{2}$ et $b^{2}$ le sont aussi . En effet , nous savons que si p divise a² , alors p divise a donc un diviseur premier commun à a² et b² serait un diviseur premier commun à a et b .
Comme $a^{2}=nb^{2}$ , d'aprés le théoréme de Gauss $a^{2}|n$ ce qui implique $b=1$ => Contradiction
On en déduit que l'hypothése "$\sqrt{n}$ est rationnel et non entier" est absurde donc "$\sqrt{n}$ est irrationnel ou entier" est vérifiée
:)
Jord
Oui bien sûr, c'est encore plus simple comme ça (surtout que dans mon raisonnement précédent, les exposants sont en fait égaux à 1... ça m'apprendra à répondre trop vite).MB a écrit :@P.Fradin : Pourquoi supposes-tu que $n$ est sans facteur carré et pas simplement que l'un de ses facteurs premier apparaît un nombre impair de fois ? En gros, on suppose que $n$ n'est pas un carré et on montre que sa racine est irrationnelle. Dans le cas contraire, il est clair que sa racine est entière.
On peut d'ailleurs généraliser ce raisonnement: si $$n$$ n'est pas la puissance $m$-ième d'un entier ($m\geq 2$), alors $\sqrt[m]{n}$ est un irrationnel.