Equation d'une onde

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moumni
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Equation d'une onde

Message par moumni »

Bonjour tout le monde de ce Furum:
Est ce que quelqu'un peut me donner l'equation d'une onde dans le cas général?
Je vous serais reconnaissant de me le donner en coordonnée sphériques

sotwafits
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Inscription : jeudi 02 juin 2005, 18:29

Message par sotwafits »

La question est beaucoup trop générale pour avoir une réponse

Réponse générale et peu explicite : une onde est une fonction $f$ d'une ou plusieurs variables d'espace et du temps

On peut d'abord se poser les questions suivantes :
-Quelle est la grandeur propagée ? Est-elle scalaire (pression, température) ou vectorielle (déplacement, vitesse, champ electrique ou magnétique) ?
-Quelle est la dimension de l'espace ? $1$, $2$ ou $3$ ?
Si tu veux une onde sphérique, il faut $3$ dimensions d'espace, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ (ou plus précisément sur $\Omega\times\mathbb R$, où $\Omega$ est une partie de $\mathbb R^3$)

-Comment se propage l'onde ? Est-elle unidirectionnelle ? Ou rayonne-t-elle à partir d'un point (onde sphérique) ? (ça peut être nettement plus compliqué que ces 2 cas)

-L'équation générale (linéaire) des ondes (sans terme source) est $\Delta f-c^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0$, où $\Delta$ est le laplacien par rapport aux coordonnées d'espace.

En 1D : $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}-c^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0$

En 3D : $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}-c^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0$

Avec des conditions initiales portant sur les valeurs de $f$ et $\dfrac{\partial f}{\partial t}$ à $t=0$

$c$ est la vitesse de propagation dans le milieu (supposons la constante et uniforme, pour simplifier)

On sait assez bien résoudre cette équation dans un domaine sans bord, c'est à dire $\mathbb R^n$ tout entier (en 1D et 3D c'est assez simple, en 2D ça l'est un peu moins), mais ça devient délicat dès qu'on est dans un domaine borné et qu'on impose des conditions au bord (du type $f=0$ au bord du domaine). Beaucoup de problèmes sont ouverts

Dans le cas 1D, les solutions sont de la forme $f(x,t)=g(x-ct)+h(x+ct)$, où $g$ et $h$ sont des fonctions d'une variable

-Après on peut compliquer les choses autant qu'on veut, en rajoutant de la non-homogénéité ($c$ dépend de $x,y,z$), de l'anisotropie (la vitesse de propagation dépend de la direction de propagation), de la non-linéarité ($c$ dépend de $f$), un terme source, de la viscosité, etc... :mrgreen:

J'espère que cette présentation t'a satisfait (impossible de faire le tour de la question en quelques lignes, c'est un sujet non exhaustif)

Référence (pour le cas linéaire) : Le livre de Brézis (Analyse fonctionnelle, Masson) qui est de niveau bac+3/4 (je ne sais pas quel est ton niveau)

moumni
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Message par moumni »

Salut mon cher sotwafits:
Merci bien tout d'abord pour la réponse. Vous m'vez donné une référence a la fin de votre réponse, c'est : Le livre de Brézis (Analyse fonctionnelle, Masson) qui est de niveau bac+3/4.
Est ce qu'il ya une version electronique de ce livre, et est ce que quelqu'un peut me l'envoyer par email ou l'attacher comme pièce jointe à une réponse et c'est mieux comme ça pour que ce livre soit disponible au visiteur de ce superbe site