Analyse Complexe

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ptah sokar
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Analyse Complexe

Message par ptah sokar »

Bonjour à tous !

J'ai un petit soucis sur une question d'analyse complexe, je vous l'énonce :

Intégrer, en utilisant la détermination principale du logarithme, la fonction $\frac {log z}{z^3+1}$ le long de $\gamma$$_R$, où $\gamma$$_R$ contient le segment [0,R] et est la frontière d'un secteur du disque centré à l'origine, de rayon R>0 et d'angle $\frac {2\pi}{3}$.

Alors j'ai bien essayé tout d'abord d'effectuer une paramétrisation du segment d'extrémités 0 et R $e^{\frac {2\pi i}{3} }$ mais même ca j'ai pas réussi :shock: :cry: :arrow:
Par contre pour l'arc de cercle uniquement j'ai trouvé :
(Rcos($\frac {2\pi}{3}$ t) ; Rsin($\frac {2\pi}{3}$ t ) ) si t $\in$ [0;1]
et pour le segment [0;R] :
( R(t-2) ; 0 ) si t $\in$ [1;2]

Si je pouvais avoir un peu d'aide ce serait gentil !

Pythales
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Message par Pythales »

Faut-il calculer l'intégrale pour $R$ quelconque, ou pour $R \rightarrow \infty$ ?

Pythales
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Message par Pythales »

L'intégrale le long du contour est égale :
- à 0 si $R < 1$
- à $2 \pi i \rho$ si $R > 1$ où $\rho$est le résidu relatif à $e^{i\frac{\pi}{3}}$
- indéterminé si $R = 1$

Si $R > 1$ on a $\rho=\frac{i\frac{\pi}{3}}{3e^{i\frac{2\pi}{3}}}$ et l'intégrale vaut $\frac{\pi^2}{9}(1+i\sqrt{3})$
et je suppose que dans la suite de l'exo, $R \rightarrow \infty$

ptah sokar
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Message par ptah sokar »

effectivement, au départ R est indéterminé, et dans la suite il tends verzs l'infini...

Mais j'ai essayé de retrouvé ces résultats et j'aboutis à des choses différentes :?

J'ai paramétré le segment [0 ; R $e^{ \frac {2\pi i}{3} }$ ] en : (t cos(2pi/3) , t sin(2pi/3) ) t dans [0,R] est ce bien ca ? Et comment continuer...

Car selon la branche principale du logarithme, je le décompose en ln |z| + i arg (z), mais après dans l'intégrale, je ne vois comment faire le long de ce chemin...

Pythales
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Message par Pythales »

Tu n'as pas à paramétrer les branches du contour pour calculer l'intégrale. Il faut seulement appliquer le théorème de Cauchy : $\int_C=2\pi i \sum R_i$ où $R_i$ sont les résidus à l'intérieur du contour.

C'est connaissant la valeur de l'intégrale sur le contour que tu en déduiras $\int_0^{\infty}\frac{ln(x)}{1+x^3}dx$, et non l'inverse.

Pythales
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Message par Pythales »

Pour ta gouverne, on a dans le cas général $\int_0^{\infty}\frac{lx(x)}{1+x^n}dx=-\frac{\pi}{n^2}\frac{cos(\frac{\pi}{n})}{sin^2(\frac{\pi}{n})}$
Ceci te permettra de vérifier tes résultats...