Polynôme irréductible

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Pedro
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Polynôme irréductible

Message par Pedro »

Bonsoir,

Pourriez vous me donner la définition exacte d'un polynôme irréductible dans $K[X]$.
et merci infiniment !!

Pedro
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Message par Pedro »

je connais la définition d'un élément irréductible dans un anneau intègre $\ A $...
Définition:
Soit $\ A $ un anneau intègre:
Soit $\ p \in A $ :
$\ p $ est irréductible si et seulement si :
$\ p \not \in A^{*} $.
$\ \forall (a,b) \in A \times A : p = a.b \Longrightarrow a \in A^{*} $ ou $\ b \in A^{*} $.
Est ce que c'est la même chose ?!
et merçi infiniment !!!

guiguiche
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Message par guiguiche »

Pedro a écrit :Est ce que c'est la même chose ?!
et merçi infiniment !!!
Oui, sachant que les inversibles sont les polynômes constants non nuls.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

jobherzt
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Message par jobherzt »

pour voir les choses de maniere moins abstraites : si $K$ est commutatif, alors $K[X]$ est euclidien, et donc entre autre principal et integre.

par ailleurs, tu as donc toujours une notion de division euclidienne, que tu as peut etre vue, qui fonctionne exactement de la meme maniere que pour les entiers. et donc comme tu l'as ecrit, les polynomes irréductibles sont ceux qu'on ne peut pas diviser par un autre polynome non constant. ce sont exactement les equivalents des nombres premiers, d'ailleurs tout polynome se factorise de maniere unique (a un inversible pres) en un produit de polynomes irreductibles.

Pedro
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Message par Pedro »

Bonsoir:
j'ai une autre question à vous poser toujours sur le même sujet:
Posons : $\ I(a) = \{ P(a) / P \in K[X] \} $.
Ma question est :
Pourquoi si $\ a $ est algébrique alors $\ K(a) = K[a] \approx K[X]/I(a) $ ?
Pourriez vous me dire ce que désigne ce symbole : $\ \approx $ .. Est ce que c'est le signe d'isomorphisme .. comme $\ \cong $
et merçi infiniment !!

Pedro
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Message par Pedro »

désolé: $\ I(a) = \{ P \in K[X] / P(a) = 0 \} $

Pedro
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Message par Pedro »

J'ai oublié de preciser que $\ K(a) $ est le plus sous corps de $\ E $ contenant $\ K \bigcup \{ a\} $ et $\ K[a] $ est le plus petit anneau de $\ E $ contenant $\ K \bigcup \{ a\} $.

Arnaud
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Message par Arnaud »

Oui le signe signifie isomorphisme.

Si $a$, il existe un polynôme $P$ irréductible s'annulant en $a$, et on en déduit que $I(a)$ est engendré par ce polynôme et donc que $I(a)$ est maximal, et donc que $K[X]/I(a)$ est un corps.

L'évaluation $P \rightarrow P(a)$ est clairement un isomorphisme de corps entre $K[X]/I(a)$ et $K(a)$. Comme $K(a)$ est un corps, $a$ est inversible, et son inverse s'exprime comme polynôme en $a$, donc $K(a)$ et $K[a]$ sont isomorphes.

Voilà en gros, si je ne me suis pas trompé.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

jobherzt
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Message par jobherzt »

Arnaud a écrit : L'évaluation $P \rightarrow P(a)$ est clairement un isomorphisme de corps entre $K[X]/I(a)$ et $K(a)$.
pour preciser un peu : l'application $P\rightarrow P(a)$ de $K[X]$ dans $K(a)$ est evidemment surjective, et son noyau est constitué par definition des polynomes envoyés sur 0, cad des polynomes qui s'annulent en $a$, d'ou acte.