Etude de fonction

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
xavier005
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 1
Inscription : jeudi 02 février 2006, 12:50

Etude de fonction

Message par xavier005 »

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait me corriger et me donner un peu d'aide pour l'exercice suivant svp.

Partie A
On considère les fonctions f et g définies sur R par: $f(x)=e^{-x^2}$ et $g(x)=x^2*e^{-x^2}$.

On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonormal $(O,i,j)$, dont les traces sur trouvent normalement sur la feuille de mon exercice mais je n'ai pas pu les copier, dsl, mais il est facile de les représenter sur une calculatrice.

1)Identifier Cf et Cg sur la feuille fournie. (justifier la réponse)

On peut clairement identifier les deux courbes en posant: $f(0)=e^{-0^2}=1$ donc Cf est la courbe qui admet f(0)=1, dont 1 est un maximum.
g(0)=0^2*e(-0^2)=0 donc Cg est la courbe qui admet g(0)=0.

2)Étudier la parité des fonctions f et g.

f(-x)=e(-(-x)^2)=e(-x^2)=f(x)
f(-x)=f(x) donc f est une fonction paire.

g(-x)=(-x)^2*e(-(-x)^2)=x^2*e(-x^2)=g(x)
g(-x)=g(x) donc g est une fonction paire.

3) Étudier le sens de variation de f et de g.Étudier les limites de f et g en +infini.

f'(x)=-2x*e(-x^2)
Regardons ou f'(x) s'annule:
-2x*e(-x^2)=0
-2x=0 et e(-x^2)=0
x=0 pas de solution
f est donc croissante sur ]-infini;0[ et décroissante sur ]0;+infini[.

g'(x)=2x*e(-x^2)+x^2*-2x*e(-x^2)=2xe(-x^2)-2x^3e(-x^2)=e(-x^2)*(2x-2x^3)
Regardons ou g'(x) s'annule:
g'(x)=0
e(-x^2)*(2x-2x^3)=0
e(-x^2)=0 et (2x-2x^3)=0
pas de solution x=-1 x=0 x=1
donc g est croissante sur ]-infini;-1[ et ]0;1[ et est décroissante sur ]-1;0[ et ]1;+infini[.

-x^2 tend vers -infini en +infini , donc e(-x^2) tend vers 0 en +infini. f tend vers 0 en +infini.
comme e(-x^2) tend vers 0 en +infini , l'exponentielle l'emportant sur x^2, x^2*e(-x^2) tend aussi vers 0 en +infini. g tend vers 0 en +infini.

4)Étudier la position relative de Cf et de Cg.

f(x)-g(x) = (1-x^2)*e(-x^2)
pour tout x de R, e(-x^2)>0
Donc f(x)-g(x) est du signe de (1-x^2)=(1-x)(1+x).
Donc Cf est au dessus de Cg sur ]-1 ; 1[ et en dessous sinon.

Partie B:

On considère la fonction G définie sur R par:

$$G(x)=\int_0^x (t^2*e^{-t^2)}dt$$

1) Que représente G pour la fonction g.

G est la primitive sur qui s'annule en 0 de la fonction g.

2)Donner pour x>0, une interprétation de G(x) en termes d'aires.

G(x) correspond a l'aire de la courbe délimités entre 0 et x.

3) Étudier le sens de variation de G sur R.

Pour tout x réel G'(x)=t^2*e(-t^2)>0, donc G est strictement croissante sur R.

4)Démontrer que pour tout réel x,G(x)=1/2*[F(x)-xe(-x^2)]; (on pourra commencer par comparer les fonctions dérivées de G et de x-->1/2*[F(x)-xe(-x^2)].

On admet que la fonction F admet une limite l en + infini , et que cette limite l est égale a l'aire, en unités d'aire,du domaine A limite par la courbe Cf et les demi droites (O;i) et (O;j). i et j étant des vecteurs.

G'(x)=x^2e-x^2
H(x)=1/2*[F(x)-xe(-x^2)] alors H'(x)=F'(x)/2-(e-x^2-2x^2e-x^2)/2 or F'(x)=e-x^2
donc H'(x)=e-x^2/2 -e-x^2/2+2x^2e-x^2/2= x^2e-x^2=G'(x)
donc H'(x)=G'(x)
de plus G s'annule en 0 et H(0)=1/2(F(0)-0)=0 car F(0)=0 donc H s'annule aussi en 0 et donc G(x)=H(x) =1/2*[F(x)-xe(-x^2)].

5)a) Démontrer que la fonction G admet une limite en + infini que l'on précisera.

a) donc,la limite de G(x) en +infini est l/2.
b) Interpréter en termes d'aires le réel N= intégrale de 0 a 1 de ((1-t^2)e(-t^2))
N correspond a l'aire en unités d'aire, du domaine limite par la courbe Cf, la courbe Cg, et les droites x=0 et x=1.

c) En admettant que la limite de G en +infini représente l'aire P en unités d'aire du domaine D limite par la demi-droite (O;i) et la courbe Cg justifier graphiquement que: $\int_0^1 (1-t^2)e^{-t^2}dt \geqslant l/2$ (on pourra illustrer le raisonnement sur une figure).

Je comprends pas vraiment cette inégalité.

veuillez m'aider svp.
merci beaucoup

sotwafits
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 199
Inscription : jeudi 02 juin 2005, 18:29

Re: Etude de fonction

Message par sotwafits »

xavier005 a écrit :Bonjour, est ce que quelqun pourait me corriger et me donner un peu d'aide pour l'exercice suivant svp.
Bienvenu sur ce forum

Il est d'usage de donner son niveau quand on poste un exercice (mais vu l'énoncé, je suppose que tu es en terminale)

Autre remarque : ton énoncé n'est pas très lisible ! Il faudrait utiliser LaTeX pour que les formules mathématiques soient plus belles et la lecture plus facile. Par exemple, pour obtenir $e^{-x^2}$, écrit

Code : Tout sélectionner

$e^{-x^2}$
1) Oui.
2) Oui.
3) Tu as la bonne réponse, mais c'est très mal rédigé (ou plutôt pas rédigé)
On peut rédiger ainsi :

$$\begin{array}{rcl}
f'(x)=0 & \Leftrightarrow & -2x e^{-x^2}=0\\
& \Leftrightarrow & -2x=0\text{ ou }e^{-x^2}=0 \quad \text{(OU, pas ET)}\\
& \Leftrightarrow & x=0 \text{ car } e^{-x^2}=0 \text{ n'a pas de solution}
\end{array}$$
f est donc croissante sur ]-infini;0[ et décroissante sur ]0;+infini[.
Insuffisant, tu n'as pas justifié le signe de $f'$ (on peut par exemple dire que $e^{-x^2}$ est toujours strictement positif, donc que $f'(x)$ est du signe contraire de $x$)
g'(x)=2x*e(-x^2)+x^2*-2x*e(-x^2)=2xe(-x^2)-2x^3e(-x^2)=e(-x^2)*(2x-2x^3)
Regardons ou g'(x) s'annule:
g'(x)=0
e(-x^2)*(2x-2x^3)=0
e(-x^2)=0 et (2x-2x^3)=0
pas de solution x=-1 x=0 x=1
donc g est croissante sur ]-infini;-1[ et ]0;1[ et est décroissante sur ]-1;0[ et ]1;+infini[.
Idem, c'est mal rédigé et tu n'as pas justifié le signe de $g'$ (il faut factoriser $g'(x)$ et faire un tableau de signe)
-x^2 tend vers -infini en +infini , donc e(-x^2) tend vers 0 en +infini. f tend vers 0 en +infini
comme e(-x^2) tend vers 0 en +infini , l'exponentielle l'emportant sur x^2, x^2*e(-x^2) tend aussi vers 0 en +infini.
g tend vers 0 en +infini.
C'est ça, mais pour la deuxième limite, ce n'est pas très rigoureux.
Il faut utiliser le résultat que tu as vu en cours et les opérations sur les limites (produit, composition)

4) Oui.

Partie B.

1) Oui.
2) Oui.
3) Ceci n'a aucun sens car $G'(x)$ est une fonction de $x$ et pas de $t$.
4) J'ai du rater quelque chose, car je ne vois pas la définition de $F$.