Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
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Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Bonjour,
Etant donnés deux éléments quelconques $a\in \R^3$ et $\alpha\in \R$, peut-on toujours trouver deux vecteurs $x$ et $y$ de $\R^3$ tels que
$$x\wedge y=a \qquad \text{et} \qquad x.y=\alpha$$
Et si la réponse est positive, existe-t-il un moyen de déterminer $x$ et $y$ ?
Merci.
Etant donnés deux éléments quelconques $a\in \R^3$ et $\alpha\in \R$, peut-on toujours trouver deux vecteurs $x$ et $y$ de $\R^3$ tels que
$$x\wedge y=a \qquad \text{et} \qquad x.y=\alpha$$
Et si la réponse est positive, existe-t-il un moyen de déterminer $x$ et $y$ ?
Merci.
Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Je pense que oui... il faudrait l'écrire... quelques idées en vrac :
- si deux vecteurs $x$ et $y$ conviennent alors $\beta x$ et $\dfrac{1}{\beta} y$ doivent convenir (avec $\beta$ réel non nul bien sûr) ;
- pour déterminer un couple solution, je commencerais par choisir de façon arbitraire, pour $x$, un vecteur unitaire orthogonal à $a$.
Je choisirais ensuite un deuxième vecteur unitaire $u$, libre avec $x$, orthogonal à $a$ et $x$.
Le vecteur $y$ s'exprimerait alors comme combinaison linéaire de $x$ et $u$ grâce à la première relation (produit vectoriel), disons : $y = \beta_1 x + \beta_2 u$. La traduction des deux relations à l'aide des "coordonnées" $\beta_1$ et $\beta_2$ donne alors un système de deux équations à deux inconnues qui donne des solutions pour $\beta_1$ et $\beta_2$.
Ce n'est pas écrit dans le détail mais ça doit marcher...
- si deux vecteurs $x$ et $y$ conviennent alors $\beta x$ et $\dfrac{1}{\beta} y$ doivent convenir (avec $\beta$ réel non nul bien sûr) ;
- pour déterminer un couple solution, je commencerais par choisir de façon arbitraire, pour $x$, un vecteur unitaire orthogonal à $a$.
Je choisirais ensuite un deuxième vecteur unitaire $u$, libre avec $x$, orthogonal à $a$ et $x$.
Le vecteur $y$ s'exprimerait alors comme combinaison linéaire de $x$ et $u$ grâce à la première relation (produit vectoriel), disons : $y = \beta_1 x + \beta_2 u$. La traduction des deux relations à l'aide des "coordonnées" $\beta_1$ et $\beta_2$ donne alors un système de deux équations à deux inconnues qui donne des solutions pour $\beta_1$ et $\beta_2$.
Ce n'est pas écrit dans le détail mais ça doit marcher...
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Il y a aussi les formules
$$|x\cdot y|=\|x\| \|y\| |\cos(\theta)|, \quad \|x\wedge y\|=\|x\| \|y\| |\sin(\theta)|$$
où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $x$ et $y$, qui peuvent servir.
Cordialement
O.G.
$$|x\cdot y|=\|x\| \|y\| |\cos(\theta)|, \quad \|x\wedge y\|=\|x\| \|y\| |\sin(\theta)|$$
où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $x$ et $y$, qui peuvent servir.
Cordialement
O.G.
Dernière modification par OG le vendredi 31 août 2007, 20:56, modifié 1 fois.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Pour simplifier les choses je pense qu'on peut déjà supposer que $\vec{a}=(0,0,a)$. Ensuite on peut prendre $\vec{x}=(1,0,0)$ et $\vec{y}=(\lambda_1,\lambda_2,0)$.
En écrivant les deux égalités, on obtient $\lambda_1 = \alpha$ et $\lambda_2 = a$.
En écrivant les deux égalités, on obtient $\lambda_1 = \alpha$ et $\lambda_2 = a$.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
C'est dans le cadre d'un problème plus long dans lequel interviennent déjà des bases, donc je préfère ne pas en introduire de nouvelles.
Je vous propose une mise en forme des idées de Pin, vous me direz ce que vous en pensez.
Choisissons $x$ un vecteur normé orthogonal à $a$.
Posons alors $u=x\wedge a$
et $y=\alpha x-u$.
On a alors
$$x\wedge y=x\wedge (\alpha x-u)=-x\wedge u=-x\wedge (x\wedge a)=(x.x)a=a$$
(utilisation de la formule du double produit vectoriel et du fait que $x$ et $a$ sont orthogonaux).
et
$$x.y=x.(\alpha x-u)=\alpha$$
On a donc bien trouvé deux vecteurs $x$ et $y$ vérifiant $x\wedge y=a$ et $x.y=\alpha$.
Ca colle ?
Merci à vous.
Je vous propose une mise en forme des idées de Pin, vous me direz ce que vous en pensez.
Choisissons $x$ un vecteur normé orthogonal à $a$.
Posons alors $u=x\wedge a$
et $y=\alpha x-u$.
On a alors
$$x\wedge y=x\wedge (\alpha x-u)=-x\wedge u=-x\wedge (x\wedge a)=(x.x)a=a$$
(utilisation de la formule du double produit vectoriel et du fait que $x$ et $a$ sont orthogonaux).
et
$$x.y=x.(\alpha x-u)=\alpha$$
On a donc bien trouvé deux vecteurs $x$ et $y$ vérifiant $x\wedge y=a$ et $x.y=\alpha$.
Ca colle ?
Merci à vous.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Si $x^$ est de norme 1, $x$ et $\alpha x$ devrait convenir ?Arnaud a écrit :J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
O.G.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
J'ai bien écris une bêtise, mais je pensais autre chose...
En fait je cherchais $x$ et $y$ non-nuls ayant un produit vectoriel nul et un produit scalaire nul ( ce qui n'est pas demandé ici ).
En fait je cherchais $x$ et $y$ non-nuls ayant un produit vectoriel nul et un produit scalaire nul ( ce qui n'est pas demandé ici ).
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Non, $x\wedge\alpha x=0$ puisque $x$ et $\alpha x$ sont liés.OG a écrit :Si $x^$ est de norme 1, $x$ et $\alpha x$ devrait convenir ?Arnaud a écrit :J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
O.G.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Si je relis le texte, $a=0=x\wedge \alpha x$ et $\alpha x\cdot x=\alpha$ avecalekhine a écrit :Non, $x\wedge\alpha x=0$ puisque $x$ et $\alpha x$ sont liés.OG a écrit :Si $x^$ est de norme 1, $x$ et $\alpha x$ devrait convenir ?Arnaud a écrit :J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
O.G.
$x$ de norme 1 ?
O.G.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Oups, en effet, pour un vecteur $a$ nul, la solution d'OG convient. Je croyais que tu parlais du cas général, d'un $a$ quelconque.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Mon message n'était pas très clair.
Finalement ton pb a l'air d'être résolu.
bon week-end
O.G.
Finalement ton pb a l'air d'être résolu.
bon week-end
O.G.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3
Oui, problème résolu. Merci à vous.
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