Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

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alekhine
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Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par alekhine »

Bonjour,

Etant donnés deux éléments quelconques $a\in \R^3$ et $\alpha\in \R$, peut-on toujours trouver deux vecteurs $x$ et $y$ de $\R^3$ tels que

$$x\wedge y=a \qquad \text{et} \qquad x.y=\alpha$$

Et si la réponse est positive, existe-t-il un moyen de déterminer $x$ et $y$ ?

Merci.

Nipin
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par Nipin »

Je pense que oui... il faudrait l'écrire... quelques idées en vrac :

- si deux vecteurs $x$ et $y$ conviennent alors $\beta x$ et $\dfrac{1}{\beta} y$ doivent convenir (avec $\beta$ réel non nul bien sûr) ;

- pour déterminer un couple solution, je commencerais par choisir de façon arbitraire, pour $x$, un vecteur unitaire orthogonal à $a$.
Je choisirais ensuite un deuxième vecteur unitaire $u$, libre avec $x$, orthogonal à $a$ et $x$.
Le vecteur $y$ s'exprimerait alors comme combinaison linéaire de $x$ et $u$ grâce à la première relation (produit vectoriel), disons : $y = \beta_1 x + \beta_2 u$. La traduction des deux relations à l'aide des "coordonnées" $\beta_1$ et $\beta_2$ donne alors un système de deux équations à deux inconnues qui donne des solutions pour $\beta_1$ et $\beta_2$.

Ce n'est pas écrit dans le détail mais ça doit marcher...

OG
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par OG »

Il y a aussi les formules
$$|x\cdot y|=\|x\| \|y\| |\cos(\theta)|, \quad \|x\wedge y\|=\|x\| \|y\| |\sin(\theta)|$$
où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $x$ et $y$, qui peuvent servir.

Cordialement
O.G.
Dernière modification par OG le vendredi 31 août 2007, 20:56, modifié 1 fois.

MB
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par MB »

Pour simplifier les choses je pense qu'on peut déjà supposer que $\vec{a}=(0,0,a)$. Ensuite on peut prendre $\vec{x}=(1,0,0)$ et $\vec{y}=(\lambda_1,\lambda_2,0)$.

En écrivant les deux égalités, on obtient $\lambda_1 = \alpha$ et $\lambda_2 = a$.
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par alekhine »

C'est dans le cadre d'un problème plus long dans lequel interviennent déjà des bases, donc je préfère ne pas en introduire de nouvelles.
Je vous propose une mise en forme des idées de Pin, vous me direz ce que vous en pensez.
Choisissons $x$ un vecteur normé orthogonal à $a$.
Posons alors $u=x\wedge a$
et $y=\alpha x-u$.
On a alors
$$x\wedge y=x\wedge (\alpha x-u)=-x\wedge u=-x\wedge (x\wedge a)=(x.x)a=a$$
(utilisation de la formule du double produit vectoriel et du fait que $x$ et $a$ sont orthogonaux).

et
$$x.y=x.(\alpha x-u)=\alpha$$

On a donc bien trouvé deux vecteurs $x$ et $y$ vérifiant $x\wedge y=a$ et $x.y=\alpha$.

Ca colle ?

Merci à vous.

Arnaud
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par Arnaud »

J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
Arnaud
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par OG »

Arnaud a écrit :J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
Si $x^$ est de norme 1, $x$ et $\alpha x$ devrait convenir ?
O.G.

Arnaud
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par Arnaud »

J'ai bien écris une bêtise, mais je pensais autre chose...
En fait je cherchais $x$ et $y$ non-nuls ayant un produit vectoriel nul et un produit scalaire nul ( ce qui n'est pas demandé ici ).
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

alekhine
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par alekhine »

OG a écrit :
Arnaud a écrit :J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
Si $x^$ est de norme 1, $x$ et $\alpha x$ devrait convenir ?
O.G.
Non, $x\wedge\alpha x=0$ puisque $x$ et $\alpha x$ sont liés.

OG
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par OG »

alekhine a écrit :
OG a écrit :
Arnaud a écrit :J'ai l'impression qu'il n'y a pas de solution si $a = 0$ et $\alpha \ne 0$ ( je dis peut-être une bêtise ).
Si $x^$ est de norme 1, $x$ et $\alpha x$ devrait convenir ?
O.G.
Non, $x\wedge\alpha x=0$ puisque $x$ et $\alpha x$ sont liés.
Si je relis le texte, $a=0=x\wedge \alpha x$ et $\alpha x\cdot x=\alpha$ avec
$x$ de norme 1 ?
O.G.

alekhine
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par alekhine »

Oups, en effet, pour un vecteur $a$ nul, la solution d'OG convient. Je croyais que tu parlais du cas général, d'un $a$ quelconque.

OG
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par OG »

Mon message n'était pas très clair.
Finalement ton pb a l'air d'être résolu.
bon week-end
O.G.

alekhine
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Re: Produit vectoriel, produit scalaire en dimension 3

Message par alekhine »

Oui, problème résolu. Merci à vous.