[TS] Récurrence ?

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TakTak
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[TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

Bonjour c'est mon premier message et la premiere fois que j'utilise le logiciel Latex je vais essayer de ne pas faire d'erreur lors de son utilisation mais je ne promet rien alors voici mon probleme :
Montrer que pour tout $n \in \N$ :


$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $


J'ai tout d'abord pensé a proceder par récurrence mais je n'arrive a le demontrer ainsi .

Je vous remercie d'avance de votre aide
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:50, modifié 1 fois.

François D.
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Message par François D. »

Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.

Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer :wink: !

Nipin
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Message par Nipin »

Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :

$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$

TakTak
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Message par TakTak »

François D. a écrit :Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.

Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer :wink: !
Justement c'est là que je coince .Je ne troue pas ce satané denominateur commun

TakTak
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Message par TakTak »

Pin a écrit :Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :

$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$

Je ne vois pas comment faire en utilisant ta méthode ?
Pourrais-tu développer un peu plus ?

lafayette
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par lafayette »

Combien y-a-t-il de termes dans ta somme de départ ?

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

De quel somme de départ parles-tu
je ne comprend pas

Nipin
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par Nipin »

Ecris l'inégalité que je t'ai donnée pour les différentes valeurs $k$ et essaie de les sommer.

guiguiche
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par guiguiche »

TakTak a écrit :$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
Il y a bien une somme, non ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

lafayette
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par lafayette »

Avec l'indication de Pin te permettant de minorer chaque terme, si tu sais compter le nombre de termes de ta somme de départ (tu dois montrer, je te rappelle : $\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $), tu devrais pouvoir montrer l'inégalité souhaitée

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

Okkkkkkk

il y a donc $2^n$ termes
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:33, modifié 2 fois.

Nipin
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par Nipin »

tout à fait !

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

et ensuite on trouve :$$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \left(\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)^{2n}$$

et comment prouver que
$(\dfrac{1}{2^{n+1}})^{2n}\ge 1\2$
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:47, modifié 2 fois.

guiguiche
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par guiguiche »

Hem, hem : la somme se transforme donc en un exposant :shock:
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

oh le boulet
quel erreur
merci
exo résolu

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

arf j'avais pas vu le dos de la feuille

et la je bloque totale

On définit $S=\ds\sum_{k=1}^\infty(\dfrac{1}{k})$

En décomposant habilement S, en déduire que $S = +\infty$

Je précise qu'il faut utiliser la relation étalie précedement a savoir :
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

hum je pense avoir trouvé commment décomposer S :

$S_n=1+ 1/2+\ds\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k}}$

MB
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par MB »

Je pense que ta décomposition n'est pas correcte de plus je ne vois pas comment elle te permettrait de conclure.
Mais l'idée d'utiliser l'égalité que tu as indiqué est bonne je pense.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

En effet elle est fausse.
D'ailleurs l'ayant remarqué je voulais supprimer le message et je penser l'avoir fait mais bizarrement il est toujours la.

TakTak
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Re: [TS] Récurrence ?

Message par TakTak »

$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}}$
comment est-ce que je pourrais simplifier par simplifier je veux dire le mettre sous forme de somme ou autre