Qu'est ce qu'une matrice symétrique positive ?

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Zaim KHELIFI
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Qu'est ce qu'une matrice symétrique positive ?

Message par Zaim KHELIFI »

Hi,
On sait ce qu'est une matrice symetrique, on sait aussi ce qu'est une matrice définie ou semi-définie positive, mais je ne trouve pas des informations sur "une matrice symetrique positive" dans quelques dictionnaires de math que j'ai ni sur le net, alors qui peut m'aider à ce sujet ?
Merci.

Tryphon
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Message par Tryphon »

Donne tes définitions de définie et semi-définie positive, je pense qu'on va vite y voir plus clair.

WydD
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Message par WydD »

Soit $E$ un espace euclidien munit du produit scalaire $( ... | ... )$

Un endomorphisme symétrique $u$ est dit positif (resp. définit positif) si $\forall x \in E$,

$(u(x) | x) \geq 0$
(resp. $(u(x) | x) > 0$, $\forall x \neq 0$)

Je suppose que A est une matrice symétrique positive si elle est issue d'un tel endomorphisme $u$, telle que : $A = \mathcal Mat_{\mathcal B} u$ où $\mathcal B$ est une base orthonormée.
Il n'y a pas besoin d'être fils spirituel de Gauss, Cantor et Euler pour montrer que cette série diverge ...

MB
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Message par MB »

WydD a écrit :Je suppose que A est une matrice symétrique positive si elle est issue d'un tel endomorphisme $u$, telle que : $A = \mathcal Mat_{\mathcal B} u$ où $\mathcal B$ est une base orthonormée.
En effet, cette notion n'est pas lié à une base et, initialement, n'est même pas lié à un endomorphisme mais à une forme bilinéaire. Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\R$ et si $f$ est une forme bilinéaire de $E \times E$ dans $\R$ alors on a :
  • $f$ est symétrique, si pour tout couple $(x,y)$ : $f(x,y) = f(y,x)$.
  • $f$ est antisymétrique, si pour tout couple $(x,y)$ : $f(x,y) = -f(y,x)$.
  • $f$ est alternée, si pour tout $x$ : $f(x,x) = 0$.
  • $f$ est positive, si pour tout $x$ : $f(x,x) \geq 0$.
  • $f$ est définie, si $f(x,x)=0$ entraîne $x=0$.
  • $f$ est définie positive, si $f$ est définie et positive.
  • $f$ est non dégénérée, si $f(x,y)=0$ pour tout $y$ entraîne $x=0$.
Dans une certaine base, $M$ est la matrice de $f$ si $f(x,y)= {}^t \! XMY$. On peut alors dire que $M$ est définie positive.

P.Fradin

Message par P.Fradin »

On peut signaler aussi qu'il y a équivalence entre alternée et antisymétrique lorsque la corps de base n'est pas de caractéristique 2, ce qui est le cas de $\R$.

MB
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Message par MB »

P.Fradin a écrit :On peut signaler aussi qu'il y a équivalence entre alternée et antisymétrique lorsque la corps de base n'est pas de caractéristique 2, ce qui est le cas de $\R$.
Oui, en effet, c'est vrai que je m'étais placé dans $\R$ directement. :wink:
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WydD
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Message par WydD »

Je suis d'accord, je maitrise pas encore le chapitre, on vient de le faire ...
Il n'y a pas besoin d'être fils spirituel de Gauss, Cantor et Euler pour montrer que cette série diverge ...