[3ème] Vecteurs, pour les cracks

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Matt
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[3ème] Vecteurs, pour les cracks

Message par Matt »

Salut à tous ! J'ai une petit exercice sur les vecteurs, avec seulement 2 petites questions... Le problème, c'est que je ne sais pas comment m'y prendre pour la question 2). Pourriez vous m'aider SVP ?

énoncé : M est le milieu du coté [AC] d'un triangle ABC et I le point tel que vecteur BI = vecteur CM


Je n'ai pas besoin d'aide pour la question 1) ( j'ai trouvé), mais je la mets quand meme, elle peut servir pour la question 2

1) Démontrer que vecteur IA + vecteur AM = vecteur BC

2) La, je ne sais pas comment m'y prendre : existe-il une manière de faire assez simple ?

Construire le point J tel que vecteur JA + vecteur JC = vecteur CB

Merci d'avance !

-> http://img111.imageshack.us/my.php?...vecteurs9wb.jpg

DidgeriDude
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Message par DidgeriDude »

N'as-tu pas une propriété sur les milieux ?
$<<$Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$, alors pour tout point $M$ du plan, on a
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}>>$

Si tu ne l'as pas en 3ème (je ne suis pas certain qu'elle soit au programme...), elle se montre très facilement en décomposant tel que :
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$
et en utilisant le fait que $I$ est milieu de $[AB]$.

En adaptant cela à tes points $J$, $A$, $C$, $M$, sans pour autant citer cette propriété mais en appliquant simplement la décomposition, tu devrais t'en sortir...

Florent
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Message par Florent »

Ce théoréme il me semble qu'il soit connu seulement à partir de la 1er S, que l'on voit à propos des barycentres.

Sinon il y a :

$$\begin{array}{rcl} \vec{IA}+\vec{AM} &=& \vec{IM} \\ &=& \vec{IB}+\vec{BC} +\vec{CM} \\ &=& \vec{IB}+\vec{CM}+\vec{BC}\end{array}$$

Or $\begin{array}{rcl}\vec{BI}=\vec{CM} &\Longrightarrow & \vec{IB}+\vec{CM} = \vec{0} \\ &\Longrightarrow & \vec{IA}+\vec{AM}=\vec{BC} \end{array}$

MB
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Message par MB »

@Matt : et alors, l'utilisation de LaTeX !?

Je précise qu'un vecteur $\overrightarrow{AB}$, s'obtient avec le code :

Code : Tout sélectionner

\overrightarrow{AB}
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Matt
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Message par Matt »

Désolé MB ! Je savais pas qu'on pouvais TOUT faire avec le latex, meme les flèches des vecteurs !! :D

Merci à Florent pouur sa réponse :) , meme si elle est un poil trop compliqué pour le 3ème que je suis : par exemple, je n'ai pas appris les sommes de 3 vecteurs, et je ne sais pas pourquoi vous avez mis vecteur IB +vecteurCM = 0


PS : MB, je n'ai pas réussi a mettre la flèche des vecteurs :D


IB \overrightarrow{IB} +CM \overrightarrow{CM}= 0

MB
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Message par MB »

Matt a écrit :PS : MB, je n'ai pas réussi a mettre la flèche des vecteurs :D
Normal, il faut préciser que c'est du code LaTeX et donc le mettre entre balises TeX ou entre dollars !

$$ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{CM}= 0 $$

Code : Tout sélectionner

$$ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{CM}= 0 $$
Note : Les double-dollars c'est pour centrer la formule !

DidgeriDude
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Message par DidgeriDude »

Tu doit placer $J$ tel que : $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{CB}$

Tu connais la relation de Châsles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Tu l'utilises "à l'envers", c'est à dire que tu décomposes un vecteur en une somme de deux autres :
$\overrightarrow{JA}=\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{MA}$
$\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{MC}$

Puis tu remplaces dans ton expression de départ :
$\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$

Tu dis que tu ne n'as pas appris la somme de plusieurs vecteurs, mais c'est la même chose que pour 2, avec les mêmes règles que pour les nombres (tu peux additionner dans l'ordre que tu veux et donc intervertir les termes dans une somme) et tu obtiens :
$\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$

Et comme $M$ est le milieu de $[AC]$, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Donc tu obtiens : $2\overrightarrow{JM}=\overrightarrow{CB}$ et je pense que tu devrais t'en tirer.

(Ça me semble un exercice relativement délicat en 3ème !!!)

nirosis
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Message par nirosis »

MB, il faudrait peut-être déclarer une commande plus simple pour les vecteurs non ? car ça revient souvent en géométrie et là, c'est un peu long à taper !

Florent
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Message par Florent »

je croyais que pour les vecteurs c'etait la commande \vec{}

MB
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Message par MB »

nirosis a écrit :MB, il faudrait peut-être déclarer une commande plus simple pour les vecteurs non ? car ça revient souvent en géométrie et là, c'est un peu long à taper !
Oui, éventuellement. :wink:
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nirosis
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Message par nirosis »

Oui mais regarde ce que ça fait quand il y a plusieurs lettres : $\vec{AB}$

Ne peut-on pas mettre la commande \ve ou \vect si elles sont libres ?

MB
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Message par MB »

nirosis a écrit :Ne peut-on pas mettre la commande \ve ou \vect si elles sont libres ?
Oui, je pense que \vect sera utilisable ...
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