Justification notation exponentielle

[Tryphon]

Salutatous,

Y'aurait-il un moyen de justifier à un TS que dans la notation $e^{ix}$, le $e$ est bien celui de l'exponentielle ?

[Valvino]

De manière antirigoureuse:

Tout complexe $z$ de module 1 peut s'écrire sous la forme $z=\cos \theta + i \sin \theta$.
On pose $f:\R\longrightarrow \mathbb{U}$ qui a $\theta \in \R$ associe $f(\theta)=\cos \theta + i \sin \theta \in \mathbb{U}$.

On a alors:
$$\begin{array}{lll}
\forall \theta, \theta' \in \R,~&f(\theta+\theta') &= \cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')\\
~&~&=(\cos \theta \cos \theta'-\sin \theta \sin \theta')+i(\sin \theta \cos \theta'+\cos \theta\sin \theta')\\
\forall \theta, \theta' \in \R,~&f(\theta)f(\theta') &=(\cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta' + i \sin \theta') \\
~&~ &= (\cos \theta \cos \theta'-\sin \theta \sin \theta')+i(\sin \theta \cos \theta'+\cos \theta\sin \theta') \end{array} $$

Donc la fonction $f$ "transforme les sommes en produits", comme l'exponentielle, donc multiplier des complexes de module 1, c'est ajouter leurs arguments, et donc de poser $z=e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta$.

C'est en gros l'idée qu'on avait développé quand j'étais en Tle S, sinon tu peux tous les larguer en faisant un cours sur les séries entières.

[Tryphon]

Le problème c'est que ça justifie que l'on note de façon exponentielle, mais pas que la base de l'exponentielle est $e$.

Sinon un collègue m'a fait remarquer qu'en posant :$u(x) = \cos(x) + i\sin(x)$, on a $u' = iu$, et donc que $u(x) = A e^{ix}$, ce qui me suffit.

[oleanet]

Bonjour,

Pour pouvoir l'expliquer de façon claire il faut déjà connaitre l'exponentielle réelle, on peut alors définr l'exponentielle d'un complexe z=x+iy en posant:
$$\exp(z)=e^x(\cos(y)+i\sin(y))$$

Cette fonction prolonge donc l'exponentielle réelle aux complexes, et comme l'a dit Valvino les formules d'addition de sin et cos conduisent alors à la propriété: $\exp(z+z')=\exp(z)\exp(z')$, on en déduit en particulier que pour n entier $\exp(nz)=[\exp(z)]^n$ (ce qui donnera la formule de Moivre). On termine alors on convenant d'étendre la notation réelle à tous les complexes, c'est à dire qu'on convient d'écrire: $\exp(z)=e^z$, ce qui entraîne $e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)$.

[Valvino]

Sauf que dans l'esprit terminale S, l'exponentielle complexe, et je dirais même plus toutes les fonctions autres que $f:I\subset \R \longrightarrow \R$ n'existent pas, donc faire passer une fonction holomorphe...

Franchement au niveau TS, c'est juste une analogie pour les calculs avec les puissances pour moi, le fait que ca soit un prolongement de la fonction exp réelle, c'est pas le plus important sur le chapitre des complexes.

[Arnaud]

Si on se limite à dire seulement ce qu'un élève peut retenir, on risque de ne pas aller loin ;)

[oleanet]

Sauf que dans l'esprit terminale S, l'exponentielle complexe, et je dirais même plus toutes les fonctions autres que $f:I\subset \R \longrightarrow \R$ n'existent pas

Et alors! Il est interdit de satisfaire la curiosité de bons élèves sous prétexte que ce n'est pas strictement au programme? C'est sûr, si on reste au niveau des exigences du bac, y a plus qu'à plier son sac et attendre la fin de l'année, parce qu'ils l'auront quasiment tous de toute façon... Il faut voir plus loin que le bout de son nez et penser aussi à leur avenir!

donc faire passer une fonction holomorphe...

Oui et bien cette définition de l'exponentielle est au programme de prepa 1ière année, mais pas l'holomorphie. Il faudrait vous renseigner jeune homme!

Franchement au niveau TS, c'est juste une analogie pour les calculs avec les puissances pour moi, le fait que ca soit un prolongement de la fonction exp réelle, c'est pas le plus important sur le chapitre des complexes.

C'est sûr, il n'y a plus rien sur les complexes en terminale! z=x+iy avec i^2=-1, cherchez pas c'est admis, c'est comme ça! Vous allez me faire 15 fois l'exercice: quelle est la forme algèbrique de z=(1+i)/(1-i) et on passe au chapitre suivant... A tel point que dans les programmes de prepa 1ière année les complexes DOIVENT être repris entièrement comme s'ils ne les avaient jamais vus. D'ailleurs tous les ans j'ai de bons étudiants (voire même très bons) qui finissent par avouer quelques semaines après la rentrée (on commence justement par les complexes) qu'ils n'avaient rien compris à ce sujet en terminale et avaient décidé de faire l'impasse totale la-dessus, bien sûr on ne leur avait jamais dit que pour faire des maths à un certain niveau les complexes sont aussi importants que les réels au lycée. Et quand ils s'aperçoivent qu'il y a des sinus et des cosinus la-dedans, vous imaginez un peu l'angoisse!

[Valvino]

Et alors! Il est interdit de satisfaire la curiosité de bons élèves sous prétexte que ce n'est pas strictement au programme? C'est sûr, si on reste au niveau des exigences du bac, y a plus qu'à plier son sac et attendre la fin de l'année, parce qu'ils l'auront quasiment tous de toute façon... Il faut voir plus loin que le bout de son nez et penser aussi à leur avenir!

Tout à fait d'accord avec toi Mais je pense qu'ici (j'ai peut être mal saisi les intentions de Tryphon) on parlait du commun mortel des élèves! Sinon effectivement, pour les bons élèves, pourquoi ne pas leur toucher deux mots des séries? Ca m'aurait sans doute passionné en terminale, vu que ca me passionne aujourd'hui!

Oui et bien cette définition de l'exponentielle est au programme de prepa 1ière année, mais pas l'holomorphie. Il faudrait vous renseigner jeune homme!

Définition foireuse je trouve. Comme définit-on les fonctions sinus et cosinus? Sinon j'ai dit holomorphe pour éviter de dire fonction de $\C$ à valeur dans $\C$, il est évident que l'holomorphie n'est pas le sujet ici.

C'est sûr, il n'y a plus rien sur les complexes en terminale! z=x+iy avec i^2=-1, cherchez pas c'est admis, c'est comme ça! Vous allez me faire 15 fois l'exercice: quelle est la forme algèbrique de z=(1+i)/(1-i) et on passe au chapitre suivant... A tel point que dans les programmes de prepa 1ière année les complexes DOIVENT être repris entièrement comme s'ils ne les avaient jamais vus. D'ailleurs tous les ans j'ai de bons étudiants (voire même très bons) qui finissent par avouer quelques semaines après la rentrée (on commence justement par les complexes) qu'ils n'avaient rien compris à ce sujet en terminale et avaient décidé de faire l'impasse totale la-dessus, bien sûr on ne leur avait jamais dit que pour faire des maths à un certain niveau les complexes sont aussi importants que les réels au lycée. Et quand ils s'aperçoivent qu'il y a des sinus et des cosinus la-dedans, vous imaginez un peu l'angoisse!

Perso, les complexes sont bien passés en terminale, car notre prof a passé un mois dessus en expliquant bien toutes les ficelles de cette nouvelle notion. Je suis d'accord que l'introduction des complexes est carrément parachuté en terminale, mais je ne vois pas trop comment faire autrement. On ne peut pas toujours commencer par le fondamental, sinon avant de faire l'analyse, faudrait se taper de la topologie, et puis avant la théorie axiomatique des ensembles, etc...

La grosse lacune du programme de Tle S, c'est plutôt l'absence de raisonnements un peu fin, en gros on peut avoir des bonnes notes en sachant bien calculer.

[oleanet]

Définition foireuse je trouve. Comme définit-on les fonctions sinus et cosinus?

Ce n'est certes pas la "bonne" définition! Mais elle a le mérite de permettre l'introduction de cette fameuse exponentielle complexe et ses propriétés (on enchaîne ensuite sur les équations différentielles).
C'est en deuxième année qu'avec la notion de série entière les choses sont définies proprement, les fonctions sin et cos peuvent être alors défines comme les parties réelle et imaginaire de x -> exp(ix). Ceci est très bien fait je crois dans la série Ramis Deschamps Odoux, y compris une définition rigoureuse du nombre $\pi$.

[Tryphon]

Je signale à toutes fins utiles que je me suis autorépondu.

Et en effet, la question était de trouver un argument DU PROGRAMME TS qui pourrait laisser penser qu'on parle bien du même $e$. Pas de leur faire la construction rigoureuse de l'exponentielle par la série entière (bien que je suis sûr que j'arriverai à glisser un mot à ce sujet, j'ai déjà fait le DSE de sinus et cosinus en DM) et des fonctions trigonométriques comme parties réelles et imaginaires (qui est critiquable aussi, ne serait-ce parce qu'historiquement les choses se sont faites complètement à l'envers).

Je rappelle qu'en TS, l'exponentielle est définie comme solution de l'ED $y'=y$, avec $y(0) = 1$., d'où l'on déduit les solutioons de $y'=ay$, c'est pour ça que l'argument donné plus haut me convient.

[rebouxo]

Et ben je le trouve très bien ton argument.

Qui a dit qu'il fallait refaire le cours en suivant l'histoire du développement des maths ? :D

Olivier

[Tryphon]

Raaah c'est ma faute, je t'ai tendu la perche :D

[euzenius]

Bonsoir,

Pour votre gouverne, il y a un excellent cours de calcul différentiel enseigné en maîtrise à l'Université Pierre et Marie Curie voici un bail par un prof du nom de Pallu de la Barrière (son fils était un navigateur acharné) qui se fondait sur une caractérisation similaire de l'exponentielle sans avoir besoin de la définition de l'exponentielle par séries entières, mais bon il faudrait que j'aille rechercher le truc qui était assez subtil... un théorème d'existence si mes souvenirs sont exacts.


Euzenius

[rebouxo]

Raaah c'est ma faute, je t'ai tendu la perche :D

Yes et elle bien bonne...
Olivier