Modéliser le mouvement des aiguilles

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
Premium
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 2
Inscription : dimanche 19 février 2006, 13:38

Modéliser le mouvement des aiguilles

Message par Premium »

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide concernant le problème que voici.

Merci d'avance
La figure est une horloge classique numérotées de 1 à 12.
O est le centre de l'horloge.
A est placé sur 12 et G de telle sorte que (OA,OG) donne 12H12(l'heure) et P de telle sorte que (OA,OP) donne 12H26(l'heure)


L'objet du problème est de modéliser le mouvement des aiguilles d'une horloge au cours d'une journée.

1)Modélisation du mouvement
-Dans la figure ci-contre,les cercles ont le même centre O.
-G est l'extrémité de la grande aiguille,P est celle de la petite.
A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).
Enfin,on désigne par t(0<t<24) le temps écoulé depuis 0 heure.

Montrez que pour $0\le t <24$,on a:

$(\vect{OA},\vect{OG}) =-2\pi t \quad [2\pi]$

$(\vect{OA},\vect{OP}) =\dfrac{-2}{12}\pi t \quad [2\pi]$


2)Etude d'un exemple
Il est 11H12 : Quelle est en degré,l'angle aigu des 2 aiguilles ?

3)Superposition
Exprimer en fonction de t l'angle $(\vect{OG},\vect{OP})$,modulo $\pi$ et en déduire à quelle heure de la journée,les 2 aiguilles sont superposées.

4)Symétrie
Donner l'heure exacte à la seconde près sachant que [OG) et [OP) sont symétrique par rapport à (OA)

5)Orthogonalité
A quelle heure de la journée les 2 aiguilles sont-elles perpendiculaires (répondre à la seconde près)

Tryphon
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1839
Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
Localisation : Un peu plus à l'Ouest

Message par Tryphon »

Bonjour, qu'as-tu fait dedans ?

DidgeriDude
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 20
Inscription : jeudi 02 février 2006, 22:35

Message par DidgeriDude »

Je ne comprends pas tout :

Tu as écrit :
A est placé sur 12 et G de telle sorte que (OA,OG) donne 12H12(l'heure) et P de telle sorte que (OA,OP) donne 12H26(l'heure).
et également :
-G est l'extrémité de la grande aiguille,P est celle de la petite.
A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).
Ce ne serait pas la position de P à 0 heures ? vu que G fait 24 fois le tour ?
A moins que je ne visualise pas bien...

Premium
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 2
Inscription : dimanche 19 février 2006, 13:38

Message par Premium »

DidgeriDude a écrit :Je ne comprends pas tout :

Tu as écrit :
A est placé sur 12 et G de telle sorte que (OA,OG) donne 12H12(l'heure) et P de telle sorte que (OA,OP) donne 12H26(l'heure).
et également :
-G est l'extrémité de la grande aiguille,P est celle de la petite.
A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).
Ce ne serait pas la position de P à 0 heures ? vu que G fait 24 fois le tour ?
A moins que je ne visualise pas bien...
Salut,
concernant la figure j'ai essayé d'expliquer car je ne peux pas reproduire la figure mais sur la figure donné c'est de cette manière
A
|
|
O-----------------G(grande aiguille)
|
---------P(petite aiguille)
A est la position origine,c'est à dire ,la position de G à 0 heure(minuit).
J'ai vérifié et c'est bien ce qui est mis dans l'énoncé

DidgeriDude
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 20
Inscription : jeudi 02 février 2006, 22:35

Message par DidgeriDude »

En fait, je viens de penser à une chose : dans l'exercice, on considère le chemin des points sur 24 heures, et donc, à l'origine, ça commence par le point G qui se trouve à minuit avant qu'il commence sa course de 24 tours. Enfin, je le comprends comme ça maintenant !

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7134
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Message par MB »

Premium a écrit :concernant la figure j'ai essayé d'expliquer car je ne peux pas reproduire la figure mais sur la figure donné c'est de cette manière
En demandant à rejoindre ce groupe, tu peux joindre des fichiers (et donc des images) à tes messages.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

DidgeriDude
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 20
Inscription : jeudi 02 février 2006, 22:35

Message par DidgeriDude »

1) On considère que la vitesse à laquelle tournent les aiguilles est toujours la même donc l'angle est proportionnel à l'heure écoulée avec un coefficient 1 pour les minutes et un coefficient $\dfrac{1}{12}$ pour les heures :
a) 1h -> 1 tour ($-2\pi$, négatif car sens non trigo) pour les minutes
b) 12h -> 1 tour ($-2\pi$) pour les heures.

2) Il suffit de calculer $(\vect{OA},\vect{OP})$ et $(\vect{OA},\vect{OG})$ pour t égal à 11h12 en décimal.
puis conclure par la relation de Châsles (je pense).

3) Je pense à la relation de Châsles également (je n'ai pas fait, donc je ne vois pas en moins de 2 secondes le passage au modulo $\pi$, désolé. Mais c'est sûr que c'est modulo $\pi$ ?).
Superposées -> l'angle est nul modulo $2\pi$.

4) La symétrie donne : les deux angles doivent avoir des mesures opposées.

5) L'expression de la question 3 doit être égale à $\dfrac{\pi}{2}$ modulo $\pi$