[1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

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Elisabeth
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[1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Elisabeth »

Bonsoir,

Soit A, B, C un triangle.

1) Placer le point D tel que $7\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AC}$
2) Démontrer que les points B, C, D sont alignés.

On a fait cet exercice en cours, j'ai donc les solutions, mais je ne comprends pas ce notre obectif et notre point de départ(pour la 2)) :
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + 1/7 (2 \overrightarrow{AB} + 5 \overrightarrow{AC})$
$7\overrightarrow{CD} = 7\overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$
$7\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{AB}$
$7\overrightarrow{CD} = 2(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB})$
$7\overrightarrow{CD} = 2/7\overrightarrow{CB}$
$\overrightarrow{CD} = 2/7 \overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont colinéaires donc les points C, D, B sont alignés.

Merci d'avance.

Jean-charles
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Jean-charles »

Le but est effectivement de prouver que les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont colinéaires ce qui prouve que les droites $(CD)$ et $(CB)$ sont parallèles et que donc les points $C,D,B$ sont alignés.
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Elisabeth
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Elisabeth »

Merci de ta réponse.

Et est-ce qu'on aurait pû prendre deux autres vecteurs, comme$\vec{BD}$ et $\vec{BC}$?

Cruptos
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Cruptos »

Bonsoir,

Comme il est dit précédemment on veut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et$\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
La relation qui définit le point $D$ fait intervenir le point $A$. Or on veut une relation uniquement entre $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CB}$. On voit à l'oeil nu que si on introduit le point $C$ en écrivant $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$
alors le vecteur $\overrightarrow{AC}$ n'intervient plus (oui, $7=2+5$). Il ne reste plus que $\overrightarrow{CD}$ et
$\overrightarrow{CB}$ et on obtient la relation cherchée.

Jean-charles
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Jean-charles »

Je pense que cela doit pouvoir marcher en écrivant $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$ puis en utilisant la relation de départ, tu dois retomber sur $\overrightarrow{BC}$.
Tu devrais essayer, cela serait un bon entraînement...
Dernière modification par Jean-charles le samedi 20 octobre 2007, 23:20, modifié 1 fois.
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Cruptos
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Cruptos »

Elisabeth a écrit :Merci de ta réponse.

Et est-ce qu'on aurait pû prendre deux autres vecteurs, comme$\vec{BD}$ et $\vec{BC}$?

oui bien sûr ça aurait donné aussi le résultat et avec un calcul comparable
(introduire le point $B$ au lieu du point $C$.

Elisabeth
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Elisabeth »

Merci à vous deux pour vos explications,

J'ai essayé avec $\vec{BD}$et $\vec{BC}$ , voilà ce que ça me donne:

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AC}$
$7\vec{BD} = -2\vec{BA} + 5(\vec{AB} + \vec{BC})$
$\vec{BD} = \vec{AB} + 5/7 \vec{BC}$

J'arrive pas à faire partir A ...

Jean-charles
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Jean-charles »

Elisabeth a écrit :Merci à vous deux pour vos explications,

J'ai essayé avec $\vec{BD}$et $\vec{BC}$ , voilà ce que ça me donne:

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AC}$
Il y a une petite erreur pour la relation de Chasles...
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Elisabeth
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Elisabeth »

Ah oui

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$
$\vec{BD} = -2\vec{BA} + 7(\vec{AB}+\vec{BC})$
$\vec{BD} = -2\vec{BC} + 10\vec{CA} + 7\vec{AB} + 7\vec{BC}$
$\vec{BD} = -2\vec{BC} + 17\vec{CB} + 7\vec{BC}$
$\vec{BD} = 22 \vec{BC}$

Je doute que ça soit ça :?

Jean-charles
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Jean-charles »

Non ta deuxième ligne n'est pas correcte: tu n'as pas le droit de remplcer $\vec{BA}$ par $ -2\vec{BA}$
Par contre il faut que tu remplaces $\vec{AD}$ par $\dfrac{1}{7}(2\vec{AB}+5\vec{AC})$
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Elisabeth
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Elisabeth »

Ok,

$\vec{BD} = \vec{BA} + 1/7 (2\vec{AB} + 5\vec{AC})$
$\vec{BD} = 5/7 \vec{BC} + 2/7 (\vec{AC} + \vec{CB})$
$\vec{BD} = 3/7 \vec{BC} + 2/7 \vec{AC}$
$\vec{BD} = 3/7 \vec{BC} -2/7 (\vec{CA} + \vec{AB}$
$\vec{BD} = 3/7 \vec{BC} + 2/7 \vec{CB}$
$\vec{BD} = 1/7 \vec{BC}$
:|

Jean-charles
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Re: [1èreS] Colinéarité de deux vecteurs

Message par Jean-charles »

Je ne comprends pas d'où vient ta deuxième ligne.
En fait il faut que tu développes puis tu remplaces $\vec{AB}$ par $-\vec{BA}$ puis tu calcules ensemble les vecteurs de la forme $k\vec{BA}$...
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