[Licence] Espace Vectoriels

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Kazik

[Licence] Espace Vectoriels

Message non lu par Kazik »

Bonjour à tous,
j'aurais besoin d'un gros coup de main pour l'exercice que voici ...
en effet, on a commencé les espace vectoriels et je ne sais pas trop ...
---
Soit $(E,\times,\oplus)$ un $\R-ev$. Soit $f:E\to E$, une application qui vérifie :
  • $f(x\times y)=f(x)\times f(y)$, avec $(x,y)\in E$
  • $f(a\oplus x)=a\oplus f(x)$ avec $a\in \R$ et $x\in E$
---
1] Soit $0_E$ le neutre de $E$ pour $\times $ ; montrer que $f(0_E)=0_E$.

Ici j'ai calculer la quantité suivante $f(x\times 0)$ :
$f(x\times 0_E)=f(x)\times f(0_E)$.
Or $0_E$ neutre pour $\times $ donc $f(x\times 0_E)=f(x)$.
Donc on a $f(x)\times f(0_E)=f(x)$.
Ce qui signifie que $f(0_E)=0_E$.


2] Montrer que $f(E)$ (l'ensemble des images de tous les vecteurs de $E$ par $f$) est un $ss-ev$ de $E$.

Il faut donc vérifier trois axiomes :[list]
[*]Tout d'abord cet ensemble n'est pas vide car $0_E\in f(E)$.
[*]Ensuite si $\rm u\in f(E), v\in f(E)$ à t-on $u\times v\in f(E)$ ?
$u\in f(E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')$
de même :
$v\in f(E)$ donc $\exists v'\in E$ tel que $v=f(v')$

Donc $u\times v=f(u')\times f(v')=f(u'\times v')$.
Or par définition $f(E)=\{x\in E | y=f(x)\}$ et ici, comme $\rm u'\in E, v'\in E$, $u'\times v' \in E$ et donc $f(u'\times v')\in f(E)$.
C'est a dire, d'apres l'égalité, que $u\times v\in f(E)$ donc qu'il y a stabilité pour la loi $\times$
[*]Ensuite si $\rm u\in f(E), \alpha \in \R$ à t-on $\alpha\oplus u \in f(E)$ ?
Comme précédemment, $u\in f(E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')$.
Par définition de la loi on a donc $\alpha\oplus u=\alpha\oplus f(u')= f(\alpha\oplus u')$
$\alpha$ étant un réel et $u'\in E$, on a $\alpha\oplus u' \in E$
D'où $f(\alpha\oplus u') \in E$ c'est a dire $\alpha\oplus u \in f(E)$[/list]

Les trois axiomes vérifié permet d'affirmer qu'il s'agit d'un $ss-ev$ de $E$.


3] Montrer que $f^{-1}(0_E)$ (l'ensemble des vecteurs de $E$ dont l'image par $f$ est $0_E$) est un $ss-ev$

Il faut donc vérifier trois axiomes :[list]
[*]Tout d'abord cet ensemble n'est pas vide car $0\in f^{-1}(0_E)$.
[*]Ensuite si $\rm u\in f^{-1}(0_E), v\in f^{-1}(0_E)$ à t-on $u\times v\in f^{-1}(0_E)$ ?
$u\in f^{-1}(0_E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')=0_E$
de même :
$v\in f^{-1}(0_E)$ donc $\exists v'\in E$ tel que $v=f(v')=0_E$

Donc $u\times v=f(u')\times f(v')=0_E\times 0_E=0_E$.
Et $f(u')\times f(v')=f(u'\times v')$.
Donc : $f(u'\times v')=0_E$
Or par définition $f^{-1}(0_E)=\{x\in E | y=f(x)=0_E\}$
Ici, comme $\rm u'\in E, v'\in E$, $u'\times v' \in E$ et donc $f(u'\times v')\in f^{-1}(0_E)$.
[*]Ensuite si $\rm u\in f^{-1}(0_E), \alpha \in \R$ à t-on $\alpha\oplus u \in f^{-1}(0_E)$ ?
Comme précédemment, $u\in f^{-1}(0_E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')=0_E$.
Par définition de la loi on a donc $\alpha\oplus u=\alpha\oplus f(u')=\alpha\oplus 0_E=0_E$
Or $\alpha\oplus f(u')=f(\alpha\oplus u')$
Donc $f(\alpha\oplus u')=0_E$
$\alpha$ étant un réel et $u'\in E$, on a $\alpha\oplus u' \in E$
D'où $f(\alpha\oplus u') \in f^{-1}(0_E)$ c'est a dire $\alpha\oplus u \in f^{-1}(0_E)$[/list]

Les trois axiomes vérifié permet d'affirmer qu'il s'agit d'un $ss-ev$ de $E$.


les deux dernière je ne vois pas ...

4] Supposons que $u,v,w$ soit une famille generatrice de $E$. Donner une famille generatrice de $f(E)$.

5] On pose que si $x\neq 0_E$, alors $f(x)\neq 0_E$. Montrer alors que l'image par $f$ de toute famille est libre.

Pouvez vous m'aidez ?
Merci d'avance !
sotwafits

Re: [Licence] Espace Vectoriels

Message non lu par sotwafits »

Kazik a écrit : 4] Supposons que $u,v,w$ soit une famille generatrice de $E$. Donner une famille generatrice de $f(E)$.

5] On pose que si $x\neq 0_E$, alors $f(x)\neq 0_E$. Montrer alors que l'image par $f$ de toute famille est libre.

Pouvez vous m'aidez ?
Merci d'avance !
Pour la 4) je serais tenté de dire $f(u),f(v),f(w)$
Dernière modification par sotwafits le jeudi 23 février 2006, 10:28, modifié 1 fois.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Curieuse idée de noter la somme $\times$ et le produit $\oplus$ :shock:
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Pour la 5) il faut partir comme ceci : soit $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille libre de $E$
Montrons que la famille $(f(x_1),\ldots,f(x_n))$ est libre...
...et utiliser la définition d'une famille libre : soit $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ une famille de $n$ réels tels que
$\alpha_1\oplus f(x_1)\times\ldots\times \alpha_n\oplus f(x_n)=0_E$
...
à toi de compléter
nirosis
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Message non lu par nirosis »

Oui c'est même génant car ça demande un effort supplémentaire pour savoir de quoi il s'agit... Ce n'est pas une bonne idée cette notation ! Il y a peut-être une bonne raison cependant !
Kazik

Message non lu par Kazik »

Mes résultats précédents sont ils correct ?
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

1) et 2) oui
3) non, tu confonds $f^{-1}(0_E)$ et $f(0_E)$
Kazik

Message non lu par Kazik »

sotwafits a écrit :1) et 2) oui
3) non, tu confonds $f^{-1}(0_E)$ et $f(0_E)$
merci pour le 3) j'ai corriger mon erreur.
j'ai réussi a faire le 4) mais le 5) je n'y arrive pas.
pouvez vous m'aidez ?
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Je complète l'indication que j'ai donnée à 10:32 :

Il faut montrer que les $\alpha_i$ sont tous nuls...
Comment ? Il y a 2 choses à utiliser :
  • $f(x)=0_E\Rightarrow x=0_E$ : faire apparaître un $x$ tel que $f(x)=0_E$
  • La famille $(x_i)$ est libre, donc...
Kazik

Message non lu par Kazik »

Voici la suite si vous avez le temps, et l'envie !

Soit n un entier superieur ou égal à 1. Soit $P_n$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions polynômes de degre inferieur ou egal à $n$. Soit $D$ la dérivation :

$D:$
$P_n \to P_n$
$f\to D(f)=f'$

avec $f'$ dérivé de $f$

1] Montrer que $D$ vérifie les conditions de l'exercices précédents (celui ci-dessus)
2] Explicité les espaces $D(P_n)$ et $D^{-1}(P_n)$
3] Donner un supplémentaire de $D(P_n)$ dans $P_n$, un supplémentaire de $D^{-1}(P_n)$ dans $P_n$.

---

le 1] je ne vois les conditions auxquels il est fait allusion ? Sont-ce les lois ? Donc :
$D(f_1\times f_2)=D(f_1)\times D(f_2)$
$D(a\oplus f)=a\oplus D(f)$
?

le 2] les espaces sont ils des ss-ev ?

le 3] je ne trouve pas
---
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---
Edit:
Pour le dernier du post précédent :
5] On pose que si $x\neq 0_E$, alors $f(x)\neq 0_E$. Montrer alors que l'image par $f$ de toute famille est libre.

J'ai écrit la contraposée :
Si $f(x)=0_E$ alors $x=0_E$

On prend donc un famille libre {r,s,t} son image par f est {f(r),f(s),f(t)}.
On veut montrer que la famille est libre donc on prend un combinaison linéaire :
af(r)+bf(s)+cf(t)=0
f(ar+bs+ct)=0
ar+bs+ct appartient à E car c'est espace vectoriel donc la combinaison linéaire est bien dans E.

Donc f(ar+bs+ct)=0 implique ar+bs+ct=0 d'après l'hypotese faite (contraposé, qui, il me semble, ne prend qu'un seul p)

Or {r,s,t} famille libre donc les scalaires sont tous nuls : a=b=c=0

Est -ce ceci ?
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Kazik a écrit : le 1] je ne vois les conditions auxquels il est fait allusion ? Sont-ce les lois ? Donc :
$D(f_1\times f_2)=D(f_1)\times D(f_2)$
$D(a\oplus f)=a\oplus D(f)$
?
Oui, c'est de ces conditions que l'énoncé parle
le 2] les espaces sont ils des ss-ev ?
Il faut décrire explicitement ces deux ensembles :
$D(P_n)$ c'est l'ensemble des polynômes que tu obtiens quand tu dérives les polynômes de degré $\le n$

Au contraire $D^{-1}(P_n)$ c'est l'ensemble des polynômes de $P_n$ dont l'image par $D$ (donc la dérivée) est dans $P_n$ (donc de degré $\le n$)
le 3] je ne trouve pas
Il faut pour ça bien répondre à la 2)
Kazik

Message non lu par Kazik »

sotwafits a écrit :Oui, c'est de ces conditions que l'énoncé parle
Ok
sotwafits a écrit :Il faut décrire explicitement ces deux ensembles :
$D(P_n)$ c'est l'ensemble des polynômes que tu obtiens quand tu dérives les polynômes de degré $\le n$
Lorsqu'on dérive le polynome : $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$
On obtient encore un polynome : $a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}$
non ?
sotwafits a écrit :Au contraire $D^{-1}(P_n)$ c'est l'ensemble des polynômes de $P_n$ dont l'image par $D$ (donc la dérivée) est dans $P_n$ (donc de degré $\le n$)
Donc si je comprend bien on prend un polynomé de degré n et on integre pour obtenir l'aure polynome ?
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Kazik a écrit : Lorsqu'on dérive le polynome : $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$
On obtient encore un polynome : $a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}$
non ?
Oui, mais ça ne répond pas à la question.
Il faut décrire l'ensemble de tous les polynômes obtenus ainsi
Les obtient-on tous ?
Si non, lesquels obtient-on ?
Donc si je comprend bien on prend un polynomé de degré n et on integre pour obtenir l'aure polynome ?
La question à laquelle il faut répondre est : quels polynômes de $P_n$ ont leur image dans $P_n$ ?
Kazik

Message non lu par Kazik »

sotwafits a écrit :Oui, mais ça ne répond pas à la question.
Il faut décrire l'ensemble de tous les polynômes obtenus ainsi
Les obtient-on tous ?
Si non, lesquels obtient-on ?
$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$
$a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}$
$2a_2+6a_3x+...+n(n-1)a_nx^{n-2}$
$6a_3+...+n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3}$

[...]

A priori je dirai qu'au rang n on obtient :
$n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-(n+1))a_nx^{n-(n+1)}$=$n(n-1)(n-2)(n-3)...a_nx$

et si on dérive encore :
$n(n-1)(n-2)(n-3)...a_n$

... non je vois pas
La question à laquelle il faut répondre est : quels polynômes de $P_n$ ont leur image dans $P_n$ ?
tous les polynomes qui s'écrivent $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$ non ?
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Kazik a écrit :
sotwafits a écrit :Oui, mais ça ne répond pas à la question.
Il faut décrire l'ensemble de tous les polynômes obtenus ainsi
Les obtient-on tous ?
Si non, lesquels obtient-on ?
$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$
$a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}$
$2a_2+6a_3x+...+n(n-1)a_nx^{n-2}$
$6a_3+...+n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3}$

[...]

A priori je dirai qu'au rang n on obtient :
$n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-(n+1))a_nx^{n-(n+1)}$=$n(n-1)(n-2)(n-3)...a_nx$

et si on dérive encore :
$n(n-1)(n-2)(n-3)...a_n$

... non je vois pas
Non, ce n'est pas du tout ça.
Je pose la question autrement : on prend un polynôme de degré $\le n$, et on le dérive UNE fois. Que peut-on dire du polynôme obtenu ?
La question à laquelle il faut répondre est : quels polynômes de $P_n$ ont leur image dans $P_n$ ?
tous les polynomes qui s'écrivent $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$ non ?
C'est à dire $P_n$ tout entier. Donc $D^{-1}(P_n)=P_n$
Kazik

Message non lu par Kazik »

sotwafits a écrit : Non, ce n'est pas du tout ça.
Je pose la question autrement : on prend un polynôme de degré $\le n$, et on le dérive UNE fois. Que peut-on dire du polynôme obtenu ?
son degré est $\le n-1$ ?
C'est à dire $P_n$ tout entier. Donc $D^{-1}(P_n)=P_n$
rigouresement c'est une demonstration cela ?
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Kazik a écrit :
sotwafits a écrit : Non, ce n'est pas du tout ça.
Je pose la question autrement : on prend un polynôme de degré $\le n$, et on le dérive UNE fois. Que peut-on dire du polynôme obtenu ?
son degré est $\le n-1$ ?
Oui, et est-ce qu'inversement tout polynôme de degré $\le n-1$ peut s'écrire sous la forme $D(P)$, pour un certain $P\in P_n$ ?
Si oui, ça montre que $D(P_n)$ est l'ensemble des polynômes de degré $\le n-1$
C'est à dire $P_n$ tout entier. Donc $D^{-1}(P_n)=P_n$
rigouresement c'est une demonstration cela ?
Oui (en fait il n'y a presque rien à dire, car $D$ est défini de $P_n$ dans $P_n$, donc l'ensemble des polynômes de $P_n$ dont l'image par $D$ est dans $P_n$, c'est clairement $P_n$)
Kazik

Message non lu par Kazik »

sotwafits a écrit : Oui, et est-ce qu'inversement tout polynôme de degré $\le n-1$ peut s'écrire sous la forme $D(P)$, pour un certain $P\in P_n$ ?
Si oui, ça montre que $D(P_n)$ est l'ensemble des polynômes de degré $\le n-1$
Oui ce polynome sera de degré $\le n-2$ non ?
sotwafits a écrit :Oui (en fait il n'y a presque rien à dire, car $D$ est défini de $P_n$ dans $P_n$, donc l'ensemble des polynômes de $P_n$ dont l'image par $D$ est dans $P_n$, c'est clairement $P_n$)
Ok.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Kazik a écrit :
sotwafits a écrit : Oui, et est-ce qu'inversement tout polynôme de degré $\le n-1$ peut s'écrire sous la forme $D(P)$, pour un certain $P\in P_n$ ?
Si oui, ça montre que $D(P_n)$ est l'ensemble des polynômes de degré $\le n-1$
Oui ce polynome sera de degré $\le n-2$ non ?
Non, on ne demande pas d'itérer $D$ à nouveau

Je recommence :
On sait que pour tout $P\in P_n$, $D(P)$ est de degré $\le n-1$.

Inversement, si $Q$ est de un polynôme de degré $n-1$, peut-on trouver $P\in P_n$ tel que $D(P)=Q$ ? (la réponse est oui, explique pourquoi)
Ceci montre que $D(P_n)$ est l'ensemble des polynômes de degré $\le n-1$
Kazik

Message non lu par Kazik »

Désolé je n'ai pas compris votre dernière réponse.
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