j'aurais besoin d'un gros coup de main pour l'exercice que voici ...
en effet, on a commencé les espace vectoriels et je ne sais pas trop ...
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Soit $(E,\times,\oplus)$ un $\R-ev$. Soit $f:E\to E$, une application qui vérifie :
- $f(x\times y)=f(x)\times f(y)$, avec $(x,y)\in E$
- $f(a\oplus x)=a\oplus f(x)$ avec $a\in \R$ et $x\in E$
1] Soit $0_E$ le neutre de $E$ pour $\times $ ; montrer que $f(0_E)=0_E$.
$f(x\times 0_E)=f(x)\times f(0_E)$.
Or $0_E$ neutre pour $\times $ donc $f(x\times 0_E)=f(x)$.
Donc on a $f(x)\times f(0_E)=f(x)$.
Ce qui signifie que $f(0_E)=0_E$.
2] Montrer que $f(E)$ (l'ensemble des images de tous les vecteurs de $E$ par $f$) est un $ss-ev$ de $E$.
Il faut donc vérifier trois axiomes :[list]
[*]Tout d'abord cet ensemble n'est pas vide car $0_E\in f(E)$.
[*]Ensuite si $\rm u\in f(E), v\in f(E)$ à t-on $u\times v\in f(E)$ ?
$u\in f(E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')$
de même :
$v\in f(E)$ donc $\exists v'\in E$ tel que $v=f(v')$
Donc $u\times v=f(u')\times f(v')=f(u'\times v')$.
Or par définition $f(E)=\{x\in E | y=f(x)\}$ et ici, comme $\rm u'\in E, v'\in E$, $u'\times v' \in E$ et donc $f(u'\times v')\in f(E)$.
C'est a dire, d'apres l'égalité, que $u\times v\in f(E)$ donc qu'il y a stabilité pour la loi $\times$
[*]Ensuite si $\rm u\in f(E), \alpha \in \R$ à t-on $\alpha\oplus u \in f(E)$ ?
Comme précédemment, $u\in f(E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')$.
Par définition de la loi on a donc $\alpha\oplus u=\alpha\oplus f(u')= f(\alpha\oplus u')$
$\alpha$ étant un réel et $u'\in E$, on a $\alpha\oplus u' \in E$
D'où $f(\alpha\oplus u') \in E$ c'est a dire $\alpha\oplus u \in f(E)$[/list]
Les trois axiomes vérifié permet d'affirmer qu'il s'agit d'un $ss-ev$ de $E$.
3] Montrer que $f^{-1}(0_E)$ (l'ensemble des vecteurs de $E$ dont l'image par $f$ est $0_E$) est un $ss-ev$
Il faut donc vérifier trois axiomes :[list]
[*]Tout d'abord cet ensemble n'est pas vide car $0\in f^{-1}(0_E)$.
[*]Ensuite si $\rm u\in f^{-1}(0_E), v\in f^{-1}(0_E)$ à t-on $u\times v\in f^{-1}(0_E)$ ?
$u\in f^{-1}(0_E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')=0_E$
de même :
$v\in f^{-1}(0_E)$ donc $\exists v'\in E$ tel que $v=f(v')=0_E$
Donc $u\times v=f(u')\times f(v')=0_E\times 0_E=0_E$.
Et $f(u')\times f(v')=f(u'\times v')$.
Donc : $f(u'\times v')=0_E$
Or par définition $f^{-1}(0_E)=\{x\in E | y=f(x)=0_E\}$
Ici, comme $\rm u'\in E, v'\in E$, $u'\times v' \in E$ et donc $f(u'\times v')\in f^{-1}(0_E)$.
[*]Ensuite si $\rm u\in f^{-1}(0_E), \alpha \in \R$ à t-on $\alpha\oplus u \in f^{-1}(0_E)$ ?
Comme précédemment, $u\in f^{-1}(0_E)$ donc $\exists u'\in E$ tel que $u=f(u')=0_E$.
Par définition de la loi on a donc $\alpha\oplus u=\alpha\oplus f(u')=\alpha\oplus 0_E=0_E$
Or $\alpha\oplus f(u')=f(\alpha\oplus u')$
Donc $f(\alpha\oplus u')=0_E$
$\alpha$ étant un réel et $u'\in E$, on a $\alpha\oplus u' \in E$
D'où $f(\alpha\oplus u') \in f^{-1}(0_E)$ c'est a dire $\alpha\oplus u \in f^{-1}(0_E)$[/list]
Les trois axiomes vérifié permet d'affirmer qu'il s'agit d'un $ss-ev$ de $E$.
les deux dernière je ne vois pas ...
4] Supposons que $u,v,w$ soit une famille generatrice de $E$. Donner une famille generatrice de $f(E)$.
5] On pose que si $x\neq 0_E$, alors $f(x)\neq 0_E$. Montrer alors que l'image par $f$ de toute famille est libre.
Pouvez vous m'aidez ?
Merci d'avance !