Fonctions complexes

[kojak]

Ben non pour moi, ça ne colle pas ici

$$|F(z)|=e\times\exp\left(-\dfrac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\right)\leqslant e\times\exp\left(-\dfrac{1-x}{(1-x)^2}\right)$$

car tu n'as pas $-\dfrac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\le -\dfrac{1-x}{(1-x)^2}$ mais le contraire... car $\dfrac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\le \dfrac{1-x}{(1-x)^2}$ où là tu as des réels positifs et donc en multipliant par $-1$, ça tombe à l'eau

[alekhine]

J'ai vu qu'ils proposaient des cours de macramé, je crois que je vais m'y inscrire

[MB]

Ca me fait penser à une petite question sur les séries de Laurent.

Si on effectue le développement en séries de Laurent de cette fonction, on obtient un truc du genre :

$$F(z) = \ds\sum_{n=- \infty}^{n = + \infty} a_n (1-z)^n$$

Alors si $F(z)$ a pour limite $0$ en $z=1$, doit-on forcément avoir $a_0 = 1$ et $a_n = 0$ pour $n < 0$ ?

[kojak]

Si on effectue le développement en séries de Laurent de cette fonction, on obtient un truc du genre :

$$F(z) = \ds\sum_{n=- \infty}^{n = + \infty} a_n (1-z)^n$$

Alors si $F(z)$ a pour limite $0$ en $z=1$, doit-on forcément avoir $a_0 = 1$ et $a_n = 0$ pour $n < 0$ ?

Série de Laurent autour du point $z=1$,, ben il me semble bien que oui.....
sinon, tu as bien un développement en série entière de $\left(\dfrac{z}{1-z}\right)^n$ pour $|z|<1$ et avec celui de l'exponentielle, on peut en avoir un de cette jolie fonction mais pour $|z|<1$

[MB]

Bah la série de Laurent n'est pas simple à déterminer.
Je pense qu'il faut partir de :

$$F(z) = \ds\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{n!} \left( 1 - \dfrac{1}{1-z} \right)^n$$

Puis par le binôme de Newton :

$$F(z) = \ds\sum_{n=0}^{+ \infty} \ds\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{n!} \times C_n^k \times \dfrac{(-1)^k}{(1-z)^k}$$

Bon ensuite il faudrait trifouiller un peu les sommes là ... mais peut être que je me suis trompé car :

1) je ne vois pas comment on pourrait récupérer des termes en $(1-z)^n$ avec $n>0$.
2) je ne suis pas certain que les termes en $(1-z)^n$ avec $n<0$ disparaissent.

A priori cette série serait valable pour $z$ dans une couronne de centre $1$. Si on peut m'en dire plus (c'est loin pour moi).

[François D.]

Euh ... il ya un truc qui me chiffonne.

Pour que la fonction en question ait une limite pour $z \to 1$ dans $\C$, il faut déjà qu'elle ait une limite en 1 pour $z=x$ réel, il me semble.

Or, pour $x\to 1$, on a $-\dfrac{x}{1-x} \to +\infty$ si $x>1$ et donc $\exp\left(-\dfrac{x}{1-x}\right) \to +\infty$ alors que $-\dfrac{x}{1-x} \to -\infty$ si $x<1$ donc $\exp\left(-\dfrac{x}{1-x}\right) \to 0$, non ?

À en croire Euzenius, je me trompe, ce que je veux bien croire, mais où ?

[MB]

En fait, pour que tout soit bien clair il faut préciser une chose : la fonction est restreinte à l'ensemble des complexes $z$ tels que $|z| \le 1$.
De ce fait, ton argument ne tient plus et je pense qu'il n'est plus possible d'effectuer un développement en série de Laurent.

En tout cas, une chose est certaine : sans cette restriction il n'y a clairement pas de limite.

[euzenius]

Bonsoir,


Effectivement il y a, à première vue, un problème de majoration. Si y est la partie imaginaire de z et x sa partie réelle on a l'inégalité puisque l'on se trouve dans le disque unité ouvert :

$ x^2 + y^2 < 1$

donc

$(1-x)^2+y^2 < 2(1-x)$

Si bien que l'on majore le module de F(z) par une constante positive non nulle ce qui n'est pas encore suffisant. Autant pour moi !

Je vais regarder cela d'un peu plus près, sans me fier à ma mémoire et à l'idée d'un exercice a priori simple relevant de quelques astuces assez ordinaires. Mais bon je suis loin de chez moi sans mes tablettes pour me rafraîchir la mémoire.

Sorry and mea culpae


Euzenius

[euzenius]

Re bonsoir,

Bien, en fait le travail effectué n'a pas été inutile puisque sur le bord du disque unité à l'exclusion de 1 le module de F est constant et non nul. La fonction étant continue sur C privé de 1 elle l'est en tout point du cercle privé de 1. N'y a-t-il alors pas une contradiction avec la continuité en 1 sur le disque ouvert unité car tout voisinage de 1 intersecté cette boule contient l'intersection d'un voisinage d'un point du cercle avec ce disque et dans cette intersection le module de F reste aussi proche que l'on veut du terme constant non nul et ne peut être aussi petit que l'on veut, non ?

Il reste à bien le formaliser si je n'ai pas dit une nouvelle stupidité. Désolé d'avoir imaginé que la fonction admettait un prolongement continu en 1 sur le disque ouvert unité, a priori, mais au moins certains ont pu se familiariser avec les majorations et on est bien parvenu à un autre résultat.


Euzenius

[alekhine]

Bonjour à tous,

Je pars de ce que tu as fait, mais je passe en notation exponentielle en posant $1-z=re^{i\theta}$ donc $F(z)=\exp\left(1-\dfrac{e^{-i\theta}}{r}\right)=e\times \exp\left(-\dfrac{e^{-i\theta}}{r}\right)$.
Ensuite en prenant le module de cette chose : tu aurais alors $e\times\exp\left(-\dfrac{\cos\theta}{r}\right)$.
comme $z$ tend vers 1, $\theta$ tend vers 0 donc le $\cos$ vers 1 et le $r$ tend vers$0^+$ donc ça serait bon pour ta limite quant $|z|<1$

A première vue je ne vois rien qui cloche dans ce raisonnement et vous ?

Comme vous avez déjà pû remarquer ma dextérité en matière de majorations... :? je me risque quand même à une remarque : on dirait qu'avec ce raisonnement, la restriction de $F$ à $|z|<1$ n'est pas nécessaire, alors que ce n'est clairement pas le cas. Donc il y aurait quand même un truc qui cloche ?

[MB]

Bien, en fait le travail effectué n'a pas été inutile puisque sur le bord du disque unité à l'exclusion de 1 le module de F est constant et non nul.

Oui, en effet. Il me semble qu'il vaut $\exp(1/2)$.
Par contre je ne vois pas vraiment en quoi ça peut remettre en cause l'existence d'une limite pour la fonction restreinte.

[MB]

A première vue je ne vois rien qui cloche dans ce raisonnement et vous ?

Pour moi si on pose $z=1-re^{i\theta}$ il faut fait attention au fait que $1-re^{i\theta}$ ne se trouve pas forcément dans le cercle unité pour $r<1$ et pour toute valeur de $\theta$.

De plus, il est faux de dire que si $z$ tend vers $1$, alors $r$ tend vers $1$ et $\theta$ tend vers $0$.

Par exemple, $1-\frac{1}{n} e^{i \frac{\pi}{2}}$ converge bien vers $1$ et pourtant $\theta = \frac{\pi}{2}$ ne tend pas vers $0$. Ceci a pour effet de faire varier le signe du $\cos(\theta)$ qui n'est pas forcément positif (et qui ne tend par forcément vers $1$).

[kojak]

De plus, il est faux de dire que si $z$ tend vers $1$, alors $r$ tend vers $1$ et $\theta$ tend vers $0$.

Par exemple, $1-\frac{1}{n} e^{i \frac{\pi}{2}}$ converge bien vers $1$ et pourtant $\theta = \frac{\pi}{2}$ ne tend pas vers $0$. Ceci a pour effet de faire varier le signe du $\cos(\theta)$ qui n'est pas forcément positif (et qui ne tend par forcément vers $1$).

Ah oui, bien joué MB : encore une sur mon compte
Ces fonctions de variables complexes sont réellement casse-bonbon .....

[euzenius]

Bonjour,

MB s'interroge sur le fait que la fonction module de F étant constante sur le cercle unité partout où elle est définie n'implique pas nécessairement l'absence de prolongement continu en 1 sur le disque unité ouvert.

La définition de la continuité "restreinte" (comme pour celle à gauche relativement aux fonctions réelles d'une variable réelle) se fait en prenant l'intersection des voisinages avec le domaine restreint.

Dès lors comme il est clair que la limite à gauche pour z réel tendant vers 1 est 0, si la fonction devait être continue sur la boule unité ouverte B(0;1) plus le point (1) (désolé j'ai limité ma connaissance de Latex à ce qui m'était utile en arithmétique élémentaire) ce prolongement vaudrait 0 en 1.

Donc quel que soit u>0, il existerait v>0 tel que pour tout z vérifiant module (1-z)<v entrainerait module de F(z)<u. Or la boule ouverte B(1;v) contient des points du cercle unité distincts de 1. Comme là fonction F et donc module de F est continue sur C privé de 1 on peut appliquer la définition de la continuité pour les points du cercle dont les voisinages ont une intersection non nulle avec B(1;v). On va donc pouvoir rouver un z pour lequel le module de F(z) est < u (souhait de prolongement continu) et en même temps est supérieur à u puisque la constante valeur du module de F(z) sur le cercle est non nulle. On aboutit donc à une contradiction et par conséquent la fonction module de F ne peut être prolongée continûment en 1 à partir du disque unité ouvert... Il reste à bien l'écrire !

Ai-je été assez clair ?


Euzenius

[MB]

Ah oui, bien joué MB : encore une sur mon compte
Ces fonctions de variables complexes sont réellement casse-bonbon .....

Ya pas de mal, c'est vrai que c'est pénible. :D
Par contre, il serait sans doute possible de traduire le fait que $|z|<1$ par $\theta \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ (ou un truc du genre) qui nous permettrait de garantir le signe (strictement positif) du cosinus. A explorer peut être ... (si cette fonction a vraiment une limite)

[MB]

@euzenius : oui, j'ai bien compris tes arguments.
Il faut que je repense à ça pour m'en convaincre par contre. Mais bon la question était de montrer qu'il y avait une limite ou pas là ?

[MB]

Bon, je vais essayer de formaliser ce que dit euzenius.
On va noter $B(z_0,r)$ la boule ouverte de centre $z_0$ et de rayon $r$. De même on notera $C(z_0,r)$ le cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$.

1) Pour tout $z \in C(0,1) \backslash \{1\}$, on a $|F(z)| = e^\frac{1}{2}$.

2) Si la fonction $F$ (restreinte à $B(0,1)$) tend vers $0$ en $z=1$, alors :

Pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\alpha >0$ tel que pour tout $z \in B(1,\alpha) \cap B(0,1)$, $F(z) \in B(0,\epsilon)$.
On considère alors un $\epsilon$ assez petit (plus petit que $e^\frac{1}{2} \div 2$ en tout cas).

3) Soit alors un point $a \in C(1,\alpha) \cap C(0,1)$. Il s'agit d'un des deux points du cercle unité situé à une distance $\alpha$ de $1$.
La fonction $F$ (non restreinte cette fois) est continue en $a$ et $|F(a)|=e^\frac{1}{2}$.

Il existe donc $\beta > 0$ tel que pour tout $z \in B(a,\beta)$, $F(z) \in B(F(a),\epsilon)$.

4) Donc pour tout $z \in B(1,\alpha) \cap B(0,1) \cap B(a,\beta)$ (non vide), on a :

$F(z) \in B(0,\epsilon)$ et $F(z) \in B(F(a),\epsilon)$

Or, (pour $\epsilon$ petit) ces deux boules sont disjointes. D'où une contradiction.

C'est bien ce que tu disais euzenius ?

[euzenius]

Bonsoir,

Oui, à ceci près que je travaille avec la fonction module de F (donc à valeurs dans R et les boules sont remplacées par des intervalles) et que donc j'aboutis bien au fait que cette fonction module de F ne saurait être continue et donc F non plus (puisque F continue implique module de F continue, puisque le module est une application continue de C dans R), mais bon cela semble coller aussi directement avec F. Merci.

L'exo posé était quelque peu pervers, car souvent la restriction à un domaine permet d'obtenir un prolongement continu surtout quand on insiste sur la continuité de la fonction complexe d'une variable complexe, et comme je suis d'une grande naïveté je me suis fait niqué et vu que je suis une grosse feignasse je me suis contenté de me référer à mon sentiment.

Merci aussi à Kojack d'avoir suivi pas à pas les errements que j'ai pu provoquer pour éviter un "désastre".


Euzenius