[TS Spé] Critère de divisibilité par 7

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Jal
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[TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Jal »

Bonjour,

J'ai un petit souci sur un exercice en spécialité mathématiques (TS) demandant de démontrer le critère de divisibilité par 7 (et faisant appel à la congruence).
a. Montrer que l'équation $3x \equiv 0 \quad (mod \,7)$ a pour solution l'ensemble des entiers $x$ tels que $x \equiv 0 \quad (mod \,7)$.
b. Soit $N$ le nombre dont l'écriture décimale est $\overline{a_n a_{n-1} ... a_1 a_0}$ et soit $N'$ le nombre dont l'écriture décimale est $\overline{a_n a_{n-1} ... a_1}$. Montrer que $N$ est divisible par 7 si et seulement si $N' - 2 a_0$ est divisible par 7.

Pistes :
b. $N$ est divisible par 7 si et seulement si $N \equiv 0 \quad (mod \,7)$.
Exprimer $N$ en fonction de $N'$ et $a_0$, puis utiliser la question a.
a. Pas de problème, un tableau de congruence suffit.

b. J'utilise les pistes. Donc pour exprimer $N$ en fonction de $N'$ et $a_0$, il n'y a pas de problème, $N = N' + a_0$ mais après, je ne vois vraiment pas comment je dois utiliser la réponse du a.

Auriez-vous un indice?

Merci.

rebouxo
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par rebouxo »

$N = 10 N' + a_0$ il me semble, non ?
Ca fait pas trop avancé le schimilimiblick.
Olivier
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Arnaud
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Arnaud »

Jal a écrit : b. J'utilise les pistes. Donc pour exprimer $N$ en fonction de $N'$ et $a_0$, il n'y a pas de problème, $N = N' + a_0$
Bonsoir,

Cette dernière égalité que tu écris est fausse, c'est peut-être ça le problème.
Arnaud
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Jal
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Jal »

Arnaud a écrit :
Jal a écrit : b. J'utilise les pistes. Donc pour exprimer $N$ en fonction de $N'$ et $a_0$, il n'y a pas de problème, $N = N' + a_0$
Bonsoir,

Cette dernière égalité que tu écris est fausse, c'est peut-être ça le problème.
Ah oui, effectivement mince...
La bonne relation c'est $N = 10N' + a_0$ (car $N' = 10^{n-1} + ... 10 \times a_2 + a_1$), je partais mal...
Mais je suis de nouveau bloqué et je ne vois vraiment pas le rapport avec la question a.
Un indice? :?

Arnaud
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Arnaud »

Je te donne un indice pour le lien à la première question : $10 \equiv \dots \quad (mod \,7)$
Arnaud
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Jal
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Jal »

Arnaud a écrit :Je te donne un indice pour le lien à la première question : $10 \equiv \dots \quad (mod \,7)$
Je suppose que tu veux parler de $10 \equiv 3 \quad (mod \,7)$, j'y avais déjà pensé mais je n'ai rien trouvé avec.
J'ai pensé à utiliser $10N' = N + a_0$ mais cela ne me mène pas bien loin...

Arnaud
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Arnaud »

Jal a écrit : J'ai pensé à utiliser $10N' = N + a_0$ mais cela ne me mène pas bien loin...
Il faut vraiment que tu fasses attention aux formules que tu écris : celle ci-dessus est fause ( par inattention j'imagine ).

Prends les éléments dans l'ordre, on a modulo 7 : $N \equiv 0 \Leftrightarrow 10N'+a_0 \equiv 0 \Leftrightarrow \dots$
Tu compares ce que tu obtiens ci-dessus, avec ce qu'on te demande d'avoir dans la question, et tu essayes d'utiliser la question 1 pour y arriver.

C'est pas simple à expliquer, car c'est un peu astucieux, et je ne veux pas te donner la solution directement, ce qui ne mènerait à rien.
Arnaud
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Jal
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Jal »

Arnaud a écrit :
Jal a écrit : J'ai pensé à utiliser $10N' = N + a_0$ mais cela ne me mène pas bien loin...
Il faut vraiment que tu fasses attention aux formules que tu écris : celle ci-dessus est fause ( par inattention j'imagine ).

Prends les éléments dans l'ordre, on a modulo 7 : $N \equiv 0 \Leftrightarrow 10N'+a_0 \equiv 0 \Leftrightarrow \dots$
Tu compares ce que tu obtiens ci-dessus, avec ce qu'on te demande d'avoir dans la question, et tu essayes d'utiliser la question 1 pour y arriver.

C'est pas simple à expliquer, car c'est un peu astucieux, et je ne veux pas te donner la solution directement, ce qui ne mènerait à rien.
Ah oui, effectivement mais là c'est juste une erreur d'inattention. :s
J'ai peut-être trouvé une partie, est-ce que cela est juste déjà?
J'ai, tout modulo 7 : $N \equiv 0 \Leftrightarrow 10N'+a_0 \equiv 0 \Leftrightarrow 3N'+a_0 \equiv 0 (1) \Leftrightarrow N'+a_0 \equiv 0 (2)$ car $10 \equiv 3$ pour (1) et la réponse à la première question pour (2).

Merci encore.

Jal
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Re: [TS Spé] Critère de divisibilité par 7

Message par Jal »

On a corrigé l'exercice aujourd'hui en cours... c'était pas facile de trouver...
Mais j'ai quand même assez bien réussi mon contrôle juste après. :)

Merci pour votre aide.