Topologie !

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Pedro
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Topologie !

Message par Pedro »

Bonjour :
Soit $\ f $ une application continue d'un espace séparé $\ E $ dans un espace localement compact $\ F $.
On dit que $\ f $ est une application propre si pour tout compact $\ K $ de $\ F $, $\ f^{-1}(K) $ est un comapct de $\ E $.
$\ 1) $ Montrer que l'application $\ 1_{\mathbb{R}} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ est propre, mais que l'application $\ x \longrightarrow 1 $ de $\ \mathbb{R} $ dans $\ \mathbb{R} $ n'est pas propre , ainsi que : $\ x \longrightarrow \sin (x) $.
$\ 2) $ Si $\ E $ est un sous espace fermé de $\ F $, localement compact, montrer que l'injection canonique $\ i : E\longrightarrow F $ est propre.
$\ 3) $ Demonter que :
$\ a) $ Si $\ f $ est propre, $\ f $ est fermée.
$\ b) $ $\ f $ homeomorphisme équivaut à $\ f $ bijective et propre.
$\ c) $ Si $\ E $ est compact : $\ f $ continue équivaut à $\ f $ propre, pour $\ f : E \longrightarrow F $.
Merci d'avance !!

Tryphon
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Re: Topologie !

Message par Tryphon »

Et t'as fait quoi ?
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

pour $\ 1) $ :
$\ 1_{\mathbb{R}} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ est propre, car pour tout compact $\ K $ de $\ \mathbb{R} $ : $\ 1_{\mathbb{R}}^{-1}(K) = K $ est compact.
Pour $\ 2) $ :
$\ x \longrightarrow 1 $ de $\ \mathbb{R} $ dans $\ \mathbb{R} $ n'est pas propre car pour tout compact $\ K $ de $\ \mathbb{R} $ ,si ce dernier ne contient pas $\ 1 $ , alors : l'image inverse de $\ K $ est le vide, je ne sais pas s'il est compact ... si $\ K $ contient $\ 1 $ alors l'image inverse de $\ K $ qui est $\ \mathbb{R} $ n'est pas compact.
Pour $\ 3) $ , je vois pas comment faire , parceque quelle est l'image inverse d'un compact $\ K $ par la fonction $\ \sin $ ..
Est ce que vous pouvez m'aider ?
Et pourquoi l'ensemble vide n'est pas compact ?
Merci d'avance !!

OG
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Re: Topologie !

Message par OG »

Bonjour

Pour l'histoire du vide compact ou pas, a priori il l'est (?)
Pour démontrer qu'une application n'est pas propre il suffit d'exhiber un ensemble compact dont l'image
réciproque par $f$ n'est pas compact. Donc pour l'application constante 1, $K=\{1\}$ suffit.
Pour la fonction $\sin$ ne peux-tu pas trouver un compact dont l'image réciproque n'est pas compact
(voire égal à $\R$ tout entier) ?

Après il faut faire la suite.
Cordialement
O.G.

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Pour la fonction $\ \sin $ :
Soit $\ K $ un compact de $\ \mathbb{R} $.
Alors : $\ K = \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} \Longrightarrow K = \displaystyle \bigcup_{i = 1,...,n } U_{i} $ avec les $\ U{i} $ des ouverts de $\ K $.
Il faut montrer que : $\ \sin^{-1}(K) $ est compact.
On a : $\ \sin^{-1}(K) = \sin^{-1}( \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} ) = \displaystyle \bigcup_{i \in I} \sin^{-1}( U_{i} ) $ est un recouvrement ouvert de $\ \sin^{-1}(K) $
$\ \Longrightarrow $
$\ \sin^{-1}(K) = \sin^{-1}( \displaystyle \bigcup_{i =1,...,n } U_{i} ) = \displaystyle \bigcup_{i =1,..., n} \sin^{-1}( U_{i} ) $ avec les $\ \sin^{-1}( U_{i} ) $ sont des ouverts car l'application $\ x \longrightarrow \sin (x) $ est continue.
Donc : $\ x \longrightarrow \sin (x) $ est propre !!
Bon, j'ai mal rédigé mais c'est ça l'idée !!
Est ce que vous pouvez m'aider pour la suite ?
Merci d'avance !!

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Pour $\ 2) $ :
Soit $\ K $ un compact de $\ F $.
On a : $\ i^{-1}(K) = E \bigcap K $ ..
Pourquoi, il est compact ? je ne saisp pas, je vois pas pourquoi il est compact !!
Merci d'avance de votre aide !!

OG
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Re: Topologie !

Message par OG »

Pedro a écrit :Pour la fonction $\ \sin $ :
Soit $\ K $ un compact de $\ \mathbb{R} $.
Alors : $\ K = \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} \Longrightarrow K = \displaystyle \bigcup_{i = 1,...,n } U_{i} $ avec les $\ U{i} $ des ouverts de $\ K $.
Il faut montrer que : $\ \sin^{-1}(K) $ est compact.
On a : $\ \sin^{-1}(K) = \sin^{-1}( \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} ) = \displaystyle \bigcup_{i \in I} \sin^{-1}( U_{i} ) $ est un recouvrement ouvert de $\ \sin^{-1}(K) $
$\ \Longrightarrow $
$\ \sin^{-1}(K) = \sin^{-1}( \displaystyle \bigcup_{i =1,...,n } U_{i} ) = \displaystyle \bigcup_{i =1,..., n} \sin^{-1}( U_{i} ) $ avec les $\ \sin^{-1}( U_{i} ) $ sont des ouverts car l'application $\ x \longrightarrow \sin (x) $ est continue.
Donc : $\ x \longrightarrow \sin (x) $ est propre !!
Bon, j'ai mal rédigé mais c'est ça l'idée !!
Est ce que vous pouvez m'aider pour la suite ?
Merci d'avance !!
Désolé mais c'est faux. Être compact n'est pas $\ K = \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} \Longrightarrow K = \displaystyle \bigcup_{i = 1,...,n } U_{i} $ avec les $\ U{i} $ des ouverts de $\ K $. Une union d'ouverts est un ouvert, il faudrait revoir la définition et la retravailler. Clairement la définition de compact
avec les recouvrements d'ouverts n'est pas immédiatement assimilable.
De plus dans ton raisonnement tu pars de $K$ compact. Il faudrait partir de : soit un recouvrement d'ouvers de $\sin^{-1}(K)$, etc...

Relis ce que j'ai écris, $\sin$ n'est pas propre, il faut chercher un compact qui marche !
Cordialement
O.G.

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Oui, l'image inverse du compact $\ [-1,1] $ par $\ \sin $ est $\ \mathbb{R} $ qui n'est pas compact !!
Don l'application $\ \sin $ n'est pas propre !!
Merci "OG" !
Est ce que tu peux m'aider pour la suite ?
Merci d'avance !!

OG
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Re: Topologie !

Message par OG »

Pedro a écrit :Oui, l'image inverse du compact $\ [-1,1] $ par $\ \sin $ est $\ \mathbb{R} $ qui n'est pas compact !!
Don l'application $\ \sin $ n'est pas propre !!
Merci "OG" !
Est ce que tu peux m'aider pour la suite ?
Merci d'avance !!
Je ne suis pas sûr de rester coller à l'écran toute l'après-midi. Proposes la suite, il y aura bien
quelqu'un pour regarder.
Cordialement
O.G.

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

OG a écrit :
De plus dans ton raisonnement tu pars de $K$ compact. Il faudrait partir de : soit un recouvrement d'ouvers de $\sin^{-1}(K)$, etc...

O.G.
Oui, c'est vrai tu as raison ! et rien ne dit que $\ \sin $ est une application ouverte !
OG a écrit :
Désolé mais c'est faux. Être compact n'est pas $\ K = \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} \Longrightarrow K = \displaystyle \bigcup_{i = 1,...,n } U_{i} $ avec les $\ U{i} $ des ouverts de $\ K $. Une union d'ouverts est un ouvert, il faudrait revoir la définition et la retravailler. Clairement la définition de compact
avec les recouvrements d'ouverts n'est pas immédiatement assimilable.

O.G.
Non ,c'est ça la definition d'un compact !! de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous recouvrement fini !! non ?
Donc si $\ K = \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} $, alors $\ K = \displaystyle \bigcup_{i = 1,...,n} U_{i} $ .
Non ? ou est l'erreur ?
Merci d'avance !!

OG
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Re: Topologie !

Message par OG »

Pedro a écrit : Non ,c'est ça la definition d'un compact !! de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous recouvrement fini !! non ?
Donc si $\ K = \displaystyle \bigcup_{i \in I} U_{i} $, alors $\ K = \displaystyle \bigcup_{i = 1,...,n} U_{i} $ .
Non ? ou est l'erreur ?
Merci d'avance !!
Il faut remplacer $=$ par $\subset$ !

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Merci beaucoup "OG" !!
Stp, juste la $\ 2^{eme} $ question !! :mrgreen:
Queslques indication stp !!

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Help pls !!

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Pedro a écrit :Pour $\ 2) $ :
Soit $\ K $ un compact de $\ F $.
On a : $\ i^{-1}(K) = E \bigcap K $ ..
Pourquoi, il est compact ? je ne saisp pas, je vois pas pourquoi il est compact !!
Merci d'avance de votre aide !!
Or : $\ i^{-1}(K) = E \bigcap K $ est fermé dans $\ K $ pour la topologie induite de $\ K $, donc c'est un fermé de $\ F $
Puisque : $\ i^{-1}(K) = E \bigcap K \subset K $ et $\ K $ est compact, alors : $\ i^{-1}(K) = E \bigcap K \subset K $ est compact.
Donc $\ i $ est propre !
Est ce que c'est correcte ça ?
Merci d'avance !!

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Voiçi la suite de l'exercice :
$\ 3) $ Démontrer que :
$\ a) $ Si $\ f $ est propre, $\ f $ est fermée.
$\ b) $ f homeomorphisme équivaut à : $\ f $ bijective et propre.
$\ c) $ Si $\ E $ est compact : $\ f $ continue équivaut à $\ f $ propre, pour $\ f : E \longrightarrow F $.
Aidez moi svp :( :mrgreen:
Merci d'avance !!

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

$\ f $ férmé signifie que l'image d'un fermé par $\ f $ est fermé c'est ça ?
Merci d'avance !!

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Help pls !! :(
merci d'avance !!

OG
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Re: Topologie !

Message par OG »

Pedro a écrit :$\ f $ férmé signifie que l'image d'un fermé par $\ f $ est fermé c'est ça ?
Merci d'avance !!
Oui c'est bien cela.

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Soit $\ A $ un fermé de $\ E $ :
Si au moins $\ E $ était compact, je saurais m'en sortir ! mais ce n'est pas le cas !! Tu peux me donner quelques indices "OG" ?!
Merci d'avance !!

Pedro
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Re: Topologie !

Message par Pedro »

Help pls !!