[ECS] Topologie

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hec
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[ECS] Topologie

Message par hec »

Bonsoir, j'ai un problème pour comprendre le corrigé de cet exo :
$D=${$(x,y) \in \R^2 / xy \le 1$}
Montrer que $D$ est une partie fermée de $\R^2$ :

On considère la fonction $f$ telle que $f(x,y)=xy$, $f$ continue sur $\R^2$
$(x,y) \in D \Leftrightarrow f(x,y) \in ] - \infty , 1]$
$\Leftrightarrow (x,y) \in f^{-1}(] - \infty , 1])$

Le complémentaire de $]- \infty,1]$ dans $\R$ est $]1, + \infty[$ qui est un ouvert de $\R$
donc $f^{-1}(]1, + \infty[)$ est un ouvert
donc $f^{-1}(]- \infty,1])$ est un fermé non ? le corrigé stipule que c'est un ouvert, pourquoi ?
Merci pour votre aide.

guiguiche
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Re: [ECS] Topologie

Message par guiguiche »

$]-\infty,1]$ est fermé car son complémentaire est ouvert.
Alors $f^{-1}(]-\infty,1])$ est fermé.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

hec
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Re: [ECS] Topologie

Message par hec »

guiguiche a écrit :$]-\infty,1]$ est fermé car son complémentaire est ouvert.
Alors $f^{-1}(]-\infty,1])$ est fermé.
ok merci, donc c'est le corrigé qui est faux. Merci pour votre confirmation :)