Etude de la nature d'une série (exo 2)

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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celtic
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Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par celtic »

Bonjour à tous
Il s'agit d'étudier la nature de la série suivante

$u_n=\ln \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$
$u_n=\ln \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\sim \dfrac{1}{n^2}$ par conséquent d'aprés Rienmann la série converge :?:

Arnaud
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par Arnaud »

Oui, facile celle-là ;)
Précise que tous les termes sont positifs.
Arnaud
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Florent
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par Florent »

Moi j'ai eu
$ln( 1 -\dfrac{1}{n^2})$ en examen terminal à étudier et calculer sa somme.

La correction du prof : théorème d'équivalence à $-\dfrac{1}{n^2}$; pourtant les termes ne sont pas tous positifs ... et La somme donne $-ln 2$ qui est négatif. ...

kojak
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par kojak »

Florent a écrit :Moi j'ai eu
$ln( 1 -\dfrac{1}{n^2})$ en examen terminal à étudier et calculer sa somme.

La correction du prof : théorème d'équivalence à $-\dfrac{1}{n^2}$; pourtant les termes ne sont pas tous positifs ...
Je dirais même mieux : tous les termes sont négatifs :wink: mais il suffit alors de prendre la valeur absolue du terme général :wink:
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Florent
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par Florent »

Ben oui vu que $ln 1 = 0$ donc nécessairement ...

Cependant : http://poncelet.sciences.univ-metz.fr/~ ... 3Serie.pdf (la correction est jointe) ...

Sans doute une erreur.

kojak
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par kojak »

Florent a écrit :Sans doute une erreur.
Où çà :?: je ne vois pas d'erreur dans ce qui est écrit :roll:
Attention, ce ne sont pour moi que des éléments de correction et non une correction détaillée, donc c'est vrai qu'il manque un certain nombre d'explications pour conclure sur la convergence de cette série :wink:
Pas d'aide par MP.

Arnaud
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par Arnaud »

Je ne vois pas le problème : si tous les termes sont négatifs, l'équivalence reste vraie ( il suffit de considérer les opposés pour s'en convaincre ).
Arnaud
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dark_forest
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 2)

Message par dark_forest »

Florent a écrit :Moi j'ai eu
$ln( 1 -\dfrac{1}{n^2})$ en examen terminal à étudier et calculer sa somme.

La correction du prof : théorème d'équivalence à $-\dfrac{1}{n^2}$; pourtant les termes ne sont pas tous positifs ... et La somme donne $-ln 2$ qui est négatif. ...
En fait il suffit que le terme général soit de signe constant à partir d'un certain rang pour appliquer le th d'équivalence, ce qui est le cas ici.