Etude de la nature d'une série (exo 4)

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celtic
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Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

Bonjour à tous
Il s'agit d'etudier la nature de la série suivante :

$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1}$
Comment dois je débuter?

Valvino
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Re: etude de la nature d'une série exo 4

Message par Valvino »

Bonjour, tout d'abord:

Code : Tout sélectionner

\sqrt[n]{x}
pour obtenir $\ds \sqrt[n]{x}$.

Je n'ai pas essayé de le résoudre mais je pense qu'il faut utiliser une méthode qui donne souvent de très bons résultats: factoriser par le terme dominant.

Juan
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par Juan »

Bonjour,
Tu peux aussi te dire que, comme on aimerait bien soustraire ce qu'il y a sous la racine, on peut utilser la relation. $a^3 - b^3 =(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Est-ce que tu vois comment exploiter ça ici ?

celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

Non pas trop

Je pensais qu'il fallait mettre sous une forme pour exploiter Cauchy

Jean-charles
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par Jean-charles »

Tu peux essayer d'utiliser la formule suggérée par Juan: $a^3 - b^3 =(a-b)(a^2+ab+b^2)$
avec $a=\sqrt[3]{n^3+2}$ et $b=\sqrt[3]{n^3+1}$
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.

kojak
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par kojak »

Bonsoir,

Moi je verrais bien un petit développement limité après avoir sorti de la racine le $n^3$, c'est à dire le $n$, et donc il faut un développement limité de $(1+x)^\frac{1}{3}$ au voisinage de $x=0$ en posant $x=\dfrac{1}{n}$ et ensuite un équivalent, et hop le tour est joué :wink:
Pas d'aide par MP.

celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

Bonsoir tout le monde

J'essaie par la factorisation

$\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}$ et je coince pouvez vous m'aider :?:

Tryphon
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par Tryphon »

Elle est où la factorisation (Note aux glands : aucun commentaire) ?

tu mets $n^3$ en facteur dans $n^3 + 2$, ça donne ?
Pas de questions en MP
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celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

Salut Tryphon

$(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3} = n^3(n^2+2n^{-3})^{\frac{1}{3}}-(n^3+1)^\frac{1}{3}$

Tryphon
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par Tryphon »

Occupe-toi juste du $n^3 + 2$ pour l'instant, on verra l'autre plus tard.

Il est faux. Commence par $n^3 + 2$, puis $\sqrt[3]{n^3 + 2}$.
Pas de questions en MP
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celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})$

guiguiche
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par guiguiche »

Tryphon a écrit :(Note aux glands : aucun commentaire) ?
Ah ben non, pas ici. :mrgreen: :arrow:
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

Jean-charles
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par Jean-charles »

celtic a écrit :$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})$
Oui maintenant il ne te reste plus qu'à prendre la racine cubique et à faire le DL...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.

celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})\rightarrow n \sqrt[3]{(1+2n^{-3})}$

Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$

Si correcte je continue comment

Jean-charles
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par Jean-charles »

Il ne te reste plus qu'à utiliser ta formule pour $\alpha=\frac{1}{3}$ et à l'ordre 1, cela suffit...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.

celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})\rightarrow n \sqrt[3]{(1+2n^{-3})}$

Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$


$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3} )\rightarrow n \sqrt[3]{(1+2n^{-3})}=1+ \dfrac{2n^{-3}}{3}+\dfrac{\frac{1}{3}-n+1}{n!}$

Si je fait $n=1$

$\dfrac{2n^{-3}}{3}+\dfrac{\frac{1}{3}-n+1}{n!}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}$

kojak
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par kojak »

bonjour Celtic,
celtic a écrit :
Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$
ceci n'est pas bon...
tu as seulement besoin de $(1+x)^\alpha=1+\alpha x +o(x)$
donc $(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}}=1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3})+o(n^{-3})$ ici $x=2n^{-3}$

tu fais pareil pour l'autre morceau $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$ et tu fais la différence, etc.
Pas d'aide par MP.

celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

Bonsoir à tous

Je reprends l'exo avec pas mal de retard

$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n^3(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n^3(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$


($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$

en faisant la différence $\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$

$u_n=\dfrac{1}{3}$ la série converge :?:

Jean-charles
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par Jean-charles »

celtic a écrit :Bonsoir à tous

Je reprends l'exo avec pas mal de retard

$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n^3(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n^3(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$


($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$

en faisant la différence $\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$

$u_n=\dfrac{1}{3}$ la série converge :?:
tes DL sont bons mais il y a une erreur ici: $(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n^3(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n^3(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$
C'est plutôt $(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$ puisque $(n^3)^\frac{1}{3}=n$
Ensuite tu utilises tes DL sans oublier de les multiplier par le facteur $n$...
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Pas d'aide par mp.

celtic
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)

Message par celtic »

Bonjour à tous

$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$


($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$

Je fait la différence


$\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$

$u_n=n\dfrac{1}{3}n^{-3} =\dfrac{1}{n^2}$ par conséquent d'apres le critére de Rienmann la série converge :?: