Question un peu bete

Discussions générales concernant les mathématiques et n'entrant pas dans les catégories suivantes.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
Matt

Question un peu bete

Message non lu par Matt »

salut !

Je me posais une question toute bete :

Comment sait on que - * (fois) - = + ?
Jveux dire, comment sait on que lorsque on multiplie deux nombres négatifs, on tombe sur un nombre positif ?
Existe il une démonstration ?

Je sais que ma question est assez "niaise",mais je me pose souvent des questions, et j'aime bien connaitre leurs réponses !

Merci d'avance
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 8058
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant
Contact :

Message non lu par MB »

Peut-être car l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
rebouxo
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 6962
Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
Localisation : le havre
Contact :

Message non lu par rebouxo »

C'est une très bonne question. Elle n'est pas bête du tout, au contraire.

Je ne sais pas si c'est très convaincant mais voilà ce que je dirais. Peut-être quelqu'un a-t-il quelque chose de plus convaincant :

Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs. Calculons
$(-a)\times (-b) - a \times b = (-a)\times (-b) + (-a)\times b $ : enlever un nombre c'est ajouté son opposé.

$(-a)\times (-b) - a \times b = -a \times (-b+b) = -a \times 0 = 0 $, donc
$(-a)\times (-b) = a \times b $. Le produit de deux nombres négatifs est donc positif.


Est-ce clair ?

J'en ai une autre, qui repose sur le développement de $(a+b)\times (c+d)$.
Dernière modification par rebouxo le mardi 28 mars 2006, 19:55, modifié 1 fois.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

On peut écrire : $(-a)\times(-b)=-[a\times(-b)]=-[-(a\times b)]=a\times b$

Mais vous allez me répondre : pourquoi peut-on sortir le signe $-$ d'une multiplication ? par exemple, pourquoi $a\times(-b)=-(a\times b)$ ? :lol:
Jusqu'où peut-on pousser la justification ?

On peut tout démontrer toutes ces petites propriétés à partir des axiomes d'anneau (en n'admettant rien d'autre) :
  1. Commutativité de $+$ : $a+b=b+a$
  2. Associativité de $+$ : $a+(b+c)=(a+b)+c$
  3. Existence d'un élément neutre (noté $0$) pour $+$ : $a+0=a$ (et $0+a=a$, mais ça découle de 1.)
  4. Existence pour tout élément $a$ d'un symétrique pour $+$ appelé opposé de $a$ et noté $-a$, qui vérifie $a+(-a)=0$
  5. Associativité de $\times$ : $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$
  6. Distributivité de $\times$ par rapport à $+$ : $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$ et $(a+b)\times c=a\times b+a\times c$
On peut commencer par démontrer à partir de ces axiomes que pour tout $a$, $a\times 0=0$

Il faut partir de $a\times(0+b)$ et le calculer de 2 façons :
D'une part, $a\times(0+b)=a\times b$ d'après 3.
D'autre part, $a\times(0+b)=a\times0+a\times b$ d'après 6.
Donc $a\times b=a\times 0+a\times b$
En ajoutant aux deux membres $-(a\times b)$, on obtient $a\times 0=0$

Ensuite on calcule $a\times [b+(-b)]$ de 2 façons :
D'une part, $a\times[b+(-b)]=a\times 0=0$ d'après ce qui précède.
D'autre part, $a\times[b+(-b)]=a\times b+a\times(-b)$

Ce qui montre que $a\times b+a\times(-b)=0$, donc que $a\times(-b)=-(a\times b)$

On fait pareil de l'autre côté : $(-a)\times b=-(a\times b)$
Matt

Message non lu par Matt »

merveileux, comme démonstrations !

merci à tous ! :D :D :D
Répondre