Antinomie de Russel et infini

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fraggy
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Antinomie de Russel et infini

Message par fraggy »

J'ai deux questions, qui doivent, quelque part, être liée...

1) Si j'ai bien compris une lecture récente, la conséquence de l'antinomie de Russel serait que l''ensemble de tous les ensembles (ou totalité ?), n'est pas, en réalité, un ensemble, mais une classe. Je ne comprend pas la différence entre une classe et un ensemble, ni, bien sûr, ce que cela change pour l'antinomie en question...

2) De même pour la différence entre infini actuel et infini potentiel : l'infini actuel semble être gênant en mathématiques, parce qu'il forcerait ou sous-entendrait que l'on doive s'en faire une représentation, tandis que l'infini potentiel serait envisagé du point de vue de Syrius, c'est-à-dire objectivement, sans l'intervention subjective d'une représentation. Ceci est-il juste, et, si oui, pourrait-on alors, qualifier ou comprendre l''infini potentiel, non par "indéfini", car cela suggérerait à tort qu'il n'est pas définissable, mais plutôt par "interminable" ?

Merci de vos lumières... infinies...

fraggy
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par fraggy »

Pas de chance, personne ne me réponds...

guiguiche
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par guiguiche »

Ben oui, désolé.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

balf
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par balf »

Il s'agit de théorie axiomatique des ensembles.
Voici un lien pour l'antinomie de Russell : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell
et un autre sur la théorie des classes (qui est UNE solution au paradoxe de Russell):
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... G%C3%B6del.

Pour la question 2), c'est du ressort de la philosophie des mathématiques, ce qui n'est pas mon domaine... Mais enfin il me semble que par infini potentiel, on considère l'illimité (la suite des entiers naturels est illimitée) et par infini actuel un objet 'infini' (au sens naïf) considéré dans sa totalité, par exemple quand on parle de l'ensemble des entiers naturels. C'est évidemment cette dernière notion qui permet, me semble-t-il, de distinguer différents infinis (le dénombrable, la puissance du continu, etc.)

B.A.

rebouxo
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par rebouxo »

Je plussoie le 2. Cela dit les notions d'infini actuel et potentiel, c'est plutôt des très vieilles considérations greco-chrétiennes (Aristote ?). Les grecs savaient bien que la notion d'infini était un sérieux piège, et menait à des problèmes. Mais certains objets mathématiques (entiers, les droites) on a parfois besoin de les agrandir, prolonger. D'où la notion d'infini potentiel.
Pour les chrétiens, Dieu est un infini actuel. On ne peut pas en tant qu'humains concevoir l'infini actuel, donc...

Enfin, il me semble.
Il y a un livre chez ellipses, collection IREM : l'infini des philosophes, l'infini des mathématiciens.
Olivier

Valvino
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par Valvino »

On peut quand même se servir de l'infini actuelle en mathématiques, en utilisant cette bonne vieille méthode axiomatique. On se donne a priori un objet noté $\infty$ qui vérifie des propriétés.

Par exemple, le truc qui me passe par la tête c'est les valuations $v$ pour les polynômes. On pose comme convention $v(0_{\mathbb{K}[X]})=\infty$ (où $\mathbb{K}$ est un corps) avec $\infty$ un objet qui vérifie les axiomes suivants
$$\forall x \in \R,\ x < \infty$$
$$\forall x \in \R,\ x+\infty=\infty$$

De même quand on définie $\overline{\R}$, la droite numérique achevée.

Je peux me tromper bien sûr.

fraggy
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par fraggy »

Euh...

j'irais pas le répéter, dès que les formules apparaissent, ma vue se brouille, malheureusement...

fraggy
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par fraggy »

Je n'ai trouvé aucune référence du livre : l'infini-des-philosophes...
Est-ce bien le véritable titre, éditeur, collection ?

fraggy
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par fraggy »

J'ai trouvé une discussion similaire sur un autre forum (Futura Science), auquel je n'arrive pas à me connecter (problème bizzare d'adresse mail refusée, etc).
Voici ce qu'un certain "Theyggdrazil" y donne comme exemples, concernant la différence entre appartenance et inclusion, sa liste me semble plutôt assez subtile :

1) S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1 est élément de S
{1} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{1,2,3} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{1,13} n'est pas inclus dans S

2) S={{1,2},{3,4,5},{6,7,8,9}}

1 n'est pas élément de S
{1,2} est élément de S mais n'est pas inclus dans S
{{1,2}} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{{1,2},{3,4,5}} est inclus dans S mais n'est pas élément de S
{{1,2},{3,4}} n'est pas inclus dans S

Pour bien comprendre, j'ai tout simplement essayé de réecrire ces deux exemples, avec un peu plus de liant, voici ce que cela donne :

Soit l’ensemble « S », composé des nombres entiers de 1 à 9,
tel que S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

1 :arrow: Parce que « 1 » est un nombre de même nature que les nombres contenus dans l’ensemble « S », il est alors un élément appartenant à « S ».

2 :arrow: L’ensemble (1) est inclus dans l’ensemble « S » parce qu’il existe une bijection entre les éléments « 1 » de ces deux ensembles.

3 :arrow: L’ensemble (1, 2, 3) est inclus dans l’ensemble « S » pour la même raison de bijection, mais en revanche, cet ensemble n’est pas un élément ou sous-ensemble appartenant à « S », parce qu’il est d’une nature différente des éléments de « S ». « S » est en effet composé de nombres et non de sous-ensembles.

4 :arrow: L’ensemble (1, 13) n’est pas inclus dans « S », parce que le nombre 13 n’appartient pas à « S » et qu’il ne peut donc exister de bijection entre « S » et cet hypothétique sous-ensemble.


Soit maintenant l’ensemble « S’ », composé, non plus de nombres,
mais d’éléments composés, tel que S’ = ((1, 2), (3, 4, 5), (6, 7, 8, 9)).

5 :arrow: Parce que « 1 » est un nombre unique, d’une nature, par conséquent, différente de celle des éléments composés contenus dans l’ensemble « S’ », il n’appartient pas à « S’ », bien qu’il figure à l’intérieur d’un élément composé de « S’ ».

6 :arrow: L’élément (1, 2) est élément de l’ensemble « S’ », mais parce qu’il est un élément composé, et non un ensemble, il n’est pas inclus dans l’ensemble « S’ ».

7 :? L’ensemble ((1, 2)), cette fois, est inclus dans l’ensemble « S’ », mais il n’est pas, en revanche, un élément appartenant à l’ensemble « S’ », qui n’est pas composé d’ensembles.

8 :? L’ensemble ((1, 2), (3, 4, 5)) est inclus dans l’ensemble « S’ », mais il n’est pas non plus un élément appartenant à l’ensemble « S’ », qui n’est pas composé d’ensembles.

9 :? L’ensemble ((1, 2), (3, 4)) n’est pas inclus dans « S’ », parce qu’il n’y a pas de bijection possible entre les éléments des deux ensembles, et, bien sur, il n’est pas non plus élément appartenant à « S’ », qui n’est pas composé d’ensembles.


J'avoue que je ne suis pas certain des 7, 8 et 9, ni d'ailleurs, de mes "éléments composés", qu'en pensez-vous ?
J'aimerais être... sévèrement corrigé !!! On a rien sans rien...

surjay
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par surjay »

Tu as compris la distinction entre l'inclusion et l'appartenance, 7) 8) et 9) sont corrects.
Attention cependant : (1, 2) désigne une paire, dans laquelle l'ordre des éléments a son importance au contraire de l'ensemble {1, 2}.

L'appartenance est notée $1\in\{1,2\}$ et l'inclusion $\{1\} \subset \{1,2\}$.
$A \subset B$ si et seulement si $\forall x\in A,\; x\in B$.

rebouxo
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par rebouxo »

fraggy a écrit :Je n'ai trouvé aucune référence du livre : l'infini-des-philosophes...
Est-ce bien le véritable titre, éditeur, collection ?
Non, j'ai confondu :
Guichard Jacqueline (2000) L'infini au carrefour de la philosophie et des mathématiques, ellipse.

Il doit y avoir un livre infini des philosophes, infini des math., mais chez belin, je crois.

Olivier

fraggy
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par fraggy »

Oui, en fait, sur le site dont je parle, il y avait bien des accolades, mais je ne sais pas quelle est la touche "accolade" sur mon clavier ! J'ai donc mis des parenthèses, croyant qu'il n'y avait aucune différence. A supposer, donc, que mes parenthèses soient des accolades, le n° 8 est-il un raisonnement correct ?

balf
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par balf »

La notion d'objets « de même nature » n'est pas une notion mathématique. C'est une discussion qu'on pourrait dire métamathématique. $A\subset S$ signifie simplement que tout objet qui appartient à $A$ appartient aussi à $S$.La relation d'appartenance, en théorie axiomatique des ensembles, est une relation primitive, c-à-d qu'elle n'a pas de définition ; elle est simplement soumise à un certain nombre de règles d'emploi ; bien sûr, elle est supposée refléter ce qu'on entend intuitivement par l'expression (métamathématique) : être élément d'une collection d'objets.

D'ailleurs, la notion d'ordinal vient compliquer les choses ; sans rentrer dans les détails, un ordinal $x$ est un ensemble ordonné par la relation d'appartenance, et dont les propriétés sont telles que si $\alpha\in x$, alors $\alpha\subset x$.

stokastik

Re: Antinomie de Russel et infini

Message par stokastik »

balf a écrit :La notion d'objets « de même nature » n'est pas une notion mathématique. C'est une discussion qu'on pourrait dire métamathématique. $A\subset S$ signifie simplement que tout objet qui appartient à $A$ appartient aussi à $S$.La relation d'appartenance, en théorie axiomatique des ensembles, est une relation primitive, c-à-d qu'elle n'a pas de définition ; elle est simplement soumise à un certain nombre de règles d'emploi ; bien sûr, elle est supposée refléter ce qu'on entend intuitivement par l'expression (métamathématique) : être élément d'une collection d'objets.

D'ailleurs, la notion d'ordinal vient compliquer les choses ; sans rentrer dans les détails, un ordinal $x$ est un ensemble ordonné par la relation d'appartenance, et dont les propriétés sont telles que si $\alpha\in x$, alors $\alpha\subset x$.
Très bien dit :)

Voilà comment j'entends le paradoxe de l'ensemble des ensembles.

En théorie des ensembles, on admet l'axiome de séparation, qui dit que si E est un ensemble et P un prédicat sur E (i.e. pour tout x dans E, P(x) est une proposition vraie ou fausse), alors on peut définir le sous-ensemble de E formé des éléments x de E pour lesquels la proposition P(x) est vraie :

$A=\{x \in E \mid P(x)\}$

L'axiome dit "ce machin existe et c'est un ensemble". On dit que A est défini en compréhension.

Si on suppose alors que l'ensemble des ensembles existe, on peut lui appliquer l'axiome de séparation avec P(x) = "x n'appartient pas à x" et on obtient une contradiction. Puisqu'on ne veut pas de contradiction il ne faut donc pas supposer que l'ensemble des ensembles existe.

Pour illustrer la solution de Russell imaginons "le père de tous les hommes". Est-ce un homme ? Si oui il est son propre père. Le père de tous les hommes serait un être supérieur et il me semble que la solution de Russell consiste à "hiérarchiser" les types d'ensembles.

Voilà je ne suis pas du tout calé dans le domaine et je serais content de recevoir des commentaires.

J'aime beaucoup Russell :)

bibi6
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par bibi6 »

Bonsoir,
stokastik a écrit : En théorie des ensembles, on admet l'axiome de séparation, qui dit que si E est un ensemble et P un prédicat sur E (i.e. pour tout x dans E, P(x) est une proposition vraie ou fausse), alors on peut définir le sous-ensemble de E formé des éléments x de E pour lesquels la proposition P(x) est vraie :

$A=\{x \in E \mid P(x)\}$

L'axiome dit "ce machin existe et c'est un ensemble". On dit que A est défini en compréhension.

Si on suppose alors que l'ensemble des ensembles existe, on peut lui appliquer l'axiome de séparation avec P(x) = "x n'appartient pas à x" et on obtient une contradiction. Puisqu'on ne veut pas de contradiction il ne faut donc pas supposer que l'ensemble des ensembles existe.

Pour illustrer la solution de Russell imaginons "le père de tous les hommes". Est-ce un homme ? Si oui il est son propre père. Le père de tous les hommes serait un être supérieur et il me semble que la solution de Russell consiste à "hiérarchiser" les types d'ensembles.
Une autre illustration connue est le "barbier de Séville" qui "rase tous les Sévillans qui nese rasent pas eux-mêmes". Est-ce qu'il se rase lui-même celui-là???

Une page de Wikipedia résume bien la situation.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... _ensembles

Le plus important selon moi est de savoir que:
*la théorie naïve des ensembles amène des paradoxes (ex: Russel);
*Zermelo, puis Fraenkel, ont donné des axiomes pour "construire" des ensembles;
*l'axiome du choix est un peu à part des autres axiomes, il a été montré que cet axiome est indépendant des autres;
*à ce jour, il n'y a pas d'incohérence vis-à-vis des axiomes.

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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par jobherzt »

Pour ce qui est de l'infini "actuel", il est absolument indispendable en mathématiques. Et ce sans parler de droite réelle complétée !! ne serait ce que pour parler de nombre reel il faut autoriser un infini achevé. C'est d'ailleurs un des axiomes de la théorie des ensembles, on peut tout a fait construire successivement les entiers avec un certain nombre d'axiomes. Mais pour parler le "l'ensemble $\mathbb{N}$", il faut ajouter un axiome qui autorise a considerer un objet infini bien que n'etant pas e perpetuelle construction.

benfreoa@hotmail.com
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par benfreoa@hotmail.com »

Bonjour à tous,

Je suis nouveau sur le forum, j'ai décidé de m'inscrire à la lecture de cet article.

Je suis aujourd'hui tombé sur le paradoxe de Russel et je me posais deux questio plus philosophique que mathématique.

La première étant sur l'existence de Dieu et le paradoxe de Russel. La non-existence du barbier semble correspondre intuitivementà la non-existence de Dieu pour les gens qui serait athés.

Pour comparer au Barbier, le barbier rase tous le monde sachant qu'il appartient à ce tout, il doit se raser lui-meme hors personne ne peut le raser mis à part lui-même ...

L'ame, la raison, ou autre mot désignant la transcendance de l'homme serait insufflé par Dieu (pour un croyant) tout comme le barbier raserait les habitants du village. Dieu appartient a cette ensemble des hommes (pour un religieux encore), mais y est à contrario infiniement éloigné par son essence de créateur (l'homme ne pouvant pas créer, tout comme les gens ne pouvant pas se raser). Dieu n'existerait pas tout comme le Barbier lui-même. Il ne peut pas à la fois appartenir à un ensemble et être infiniement éloigné.

Pour ma part je suis croyant, mais je pense que ce paradoxe est un grand argument pour quelqu'un d'athée. Je pense que cet argument ne prouve pas l'athéisme, mais prouve l'éloignement matériel de ce que l'homme appelle Dieu, et le fait que nul homme ne pourra jamais prouver l'existence de Dieu en tant que tel. Cet axiome symbolise la frontière entre l'homme et Dieu, il donne le choix au libre arbitre. Ainsi Dieu n'est pas mathématique mais éthique.

En ce sens, cet axiome réfute la relation entre Jésus et Dieu qui est elle, mathématiquement impossible. Aucun homme ne peux éfleurer la présence divine, seul la raison, l'ame l'éthique peut rapprocher les hommes de Dieu. Le rationnalisme Allemand d'avant guerre "a tuer" D. ne laissant pas la place à un Dieu mathématique, le dieu mathématique n'existe pas donc Dieu n'existe pas.

Cette proposition illustre bien l'importance d'ensemble et de groupe qui nous échappe souvent dans notre quotidien. L'amalgame entre Dieu rationnellement humain et Dieu de l'absolu est souvent faite des scientifiques.

rebouxo
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par rebouxo »

Non. Le paradoxe de Russell n'est qu'une preuve que les ensembles naïf sont des objets mal définis.
Rappel : la science ne s'occupe pas du pourquoi, mais du comment ça marche. Les questions sur Dieu sont tout simplement hors de sa portée. Le pourquoi c'est la métaphysique. Après, c'est une affaire de croyance, et celles-ci ont fait, font et feront encore des dégâts.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

M@rion
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Re: Antinomie de Russel et infini

Message par M@rion »

ça c'est bien vrai ! (heu...cette proposition énonce-t-elle une croyance ou une "vérité vraie" ? :mrgreen: )

en attendant je suis d'accord il est moins dangereux de croire aux schtroumpfs qu'en un dieu anthropomorphe qui distribue des bonbons et des punitions

stokastik

Re: Antinomie de Russel et infini

Message par stokastik »

Pauvre Bertrand, s'il lisait ça ! (le message de benfreoa)