Relation d'ordre -

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moietlesmathscafé3
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Relation d'ordre -

Message par moietlesmathscafé3 »

Bonjour ,

je n arrive pas a démontrer l 'exercice ci dessous , je sais bien que je dois passer par la réflexivité , la symétrie et la transitivité mais j' ai un problème au niveau de la démonstration.

je vous remercie
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dark_forest
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Re: Relation d ordre -

Message par dark_forest »

Bonsoir,

En fait c'est l'antisymétrie pour la relation d'ordre.

Sinon je ne vois pas où est le problème pour la réflexivité, c'est presque évident. Pour l'antisymétrie et la transitivité il faut rédiger un peu.

moietlesmathscafé3
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Re: Relation d ordre -

Message par moietlesmathscafé3 »

bonjour,

ce que j' ai vraiment du mal a cerner ce sont ces elements (x, y) et (x' ,y') .

(x,x') est un element de X
(y,y') est un element de Y

La relation definie quel couple , qui est alors un element de X*Y??

merci

balf
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Re: Relation d ordre -

Message par balf »

x et x' sont des éléments de X, y et y' des éléments de Y. XxY est l'ensemble des couples dont le première "coordonnée" est dans X et la seconde est dans Y (bien sûr, ça peut très bien ne pas être des nombres). On suppose qu'il y ait une relation entre éléments de X et une autre entre éléments de Y, qui soient toutes deux des relations d'ordre. À partir de ces relations sur X et sur Y, on en fabrique une nouvelle, sur XxY. Est-ce que la situation est plus claire ?

À part quoi, la difficulté est peut-être de trier et d'ordonner les différents cas possibles. Je suggère de dégrossir en faisant des tableaux à double entrée, par exemple, pour l'antisymétrie :

et de mettre dans les cases les conclusions ou les incompatibilités. Il ne reste qu'à rédiger en français à partir de ce canevas.

B.A.
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moietlesmathscafé3
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Re: Relation d ordre -

Message par moietlesmathscafé3 »

bonjour ,

ca m a eclairci les idées :oops: ,mais comment peut on savoir si x < x' alors x <y ou x < y' ou x' <y' ou x' < y'??

imaginons dans N * N ,
j ai un ensemble ordonné (X<=) X = {1,2,3,4,5} et un ensemble ordonné (Y ,<=) avec Y = { 2 ,3,4,5,6}

le fait d avoir x<x' ne m apprend rien sur l ensemble Y

merci

balf
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Re: Relation d ordre -

Message par balf »

Non, ça n'apprend rien : a priori, X et Y n'ont rien à voir entre eux : x < y n'a pas de sens (il pourrait en avoir, comme dans votre exemple, mais la question ne se pose pas).
Ce qui éclairera peut-être est de savoir que cet ordre s'appelle l'ordre lexicographique, càd que les couples sont classés comme dans un dictionnaire. Je précise : imaginons un dictionnaire où tous les mots ont deux lettres. On peut considérer l'ensemble des 'mots' comme l'ensemble de tous les couples de lettres ; ils sont classés d'abord selon la première lettre ('bz' avant 'ca'). Mais deux mots commencent par la même lettre, on regarde alors la seconde ('bg' est rangé avant 'bz').

B.A.

balf
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Re: Relation d ordre -

Message par balf »

Je n'avais pas bien vu une partie de votre question : comment peut-on savoir ....
Non seulement, en général la question n'a pas de sens, mais, même si elle en a un, on s'en moque.

B.A.

moietlesmathscafé3
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Re: Relation d ordre -

Message par moietlesmathscafé3 »

Bonjour ,
ca m a aidé , cependant si j ai par exemple bc et ca , x =b ,x' = c , est que c est ca???

Alors pour la reflexivité on aura automatiquement :
Quelque soit x et y E a X*Y (x,y) <= (x,y)

je te remercie deja de ton aide

balf
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Re: Relation d ordre -

Message par balf »

Oui, c'est ça : $bc\le ca$. Pour faire le travail plus facilement, il faut se rendre compte que les deux cas qui permettent d'écrire $(x,y)\le (x',y')$ sont incompatibles : on a soit l'un, soit l'autre. Cette remarque permet de limiter strictement le nombre de combinaisons possibles.

B.A.

PS "Quel que soit" s'écrit en trois mots ; de plus, ça se conjugue et ça s'accorde : "quelles que soient les valeurs données à x, x', y, y'....". Aussi, essaye d'utiliser LaTeX, c'est plus facile de lire les formules.

moietlesmathscafé3
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Re: Relation d ordre -

Message par moietlesmathscafé3 »

Bonujour ,

je n ' ai pas trop compris les cas d incompatibilité , enfin la reflexivité se prouve par ;

$\forall$ (x,y) $\in$ à X*Y on a :
(x,y) $\le $(x,y)

transitivité :

Soit (x" , y" ) $\in$ à X*Y avec x < x" et x" < x'
Si (x ,y ) $ \le $(x",y") et (x" ,y" ) $\le$ (x',y') alors (x,y) $\le$ (x',y')

et je fais la meme chose pour la symetrie , suis je loin du resultat attendu?

balf
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Re: Relation d ordre -

Message par balf »

Je voulais dire que, quand on écrit $(x,y)\le (x',y')$, c'est soit parce que $x<x'$, soit parce que $x=x'$ et $y\le y'$, mais pas les deux à la fois (bref, il s'agit d'une alternative). Ce que tu as écrit, c'est la liste de ce qu'il faut prouver, mais rien n'est fait. Il faut traduire les hypothèses (s'il y en a : c'est le cas de la transitivité et de l'antisymétrie) et la conclusion à laquelle il faut aboutir avec la définition de la relation $\le$ sur l'ensemble-produit $X\times Y$.

Je prends comme exemple la réflexivité : ce qu'il faut vérifier, c'est en fin de compte si on a bien $x<x$ ou $x=x$ et $y\le y$. C'est bien vérifié parce que le deuxième terme de l'alternative est vérifié : on a bien $x=x$ et $y\le y$ parce que la relation $\le $ SUR $Y$ est réflexive, étant une relation d'ordre.

Bon, j'en ai fait un bout ; j'espère que tu vois comment on argument. Pour les autres propriétés, je te répète ma suggestion : faire un tableau à double entrée, puisqu'il y a deux hypothèses, ce qui permettra de classer plus facilement les différentes combinaisons de cas possibles.

B.A.

moietlesmathscafé3
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Re: Relation d'ordre -

Message par moietlesmathscafé3 »

Bonjour ,

pour l' antisymétrie :

(x,y)$\le$ (x',y') alors (x',y') $\le$ (x,y) donc x' = x obligatoirement et y $\le$ y' , si on avait x<=x' cela ne poserait pas de problème

Pour la transitivité je ne vois pas trop comment faire , j essaie de comprendre pourtant mais rien n' y fait .
Si x < x' on ne peut pas avoir de transitivité,on a une transitivité que si x = x' ou y <=y'

mais un ensemble E muni de < n est pas ordonné vu qu il n y aura jamais de reflexivité???

merci

balf
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Re: Relation d'ordre -

Message par balf »

En fait, ce qu'on appelle relation d'ordre, c'est la relation $\le$ ; < est ce qu'on appelle une relation d'ordre strict est définie par $x<x'\iff (x\le x' et x\ne x')$. Il est vrai que certaines présentations partent de la relation <., mais cela oblige à modifier les axiomes (p.ex. l'antisymétrie devient alors : on ne peut avoir àla fois $x<x'$ et $x'<x$).

D'ici, je peux joindre un pdf qui détaille un peu plus ce qu'il faut faire.
ordrelexic.pdf
B.A.
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balf
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Re: Relation d'ordre -

Message par balf »

J'avais mal lu ton dernier envoi ; tu sembles mélanger la symétrie (propriété possédée par les relations d'équivalence) et l'antisymétrie (concerne les relations d'ordre). Vérifie ton cours.

B.A.