Un exo d'optimisation

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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Tryphon
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Un exo d'optimisation

Message par Tryphon »

Hier je suis tombé sur cet exo en préparant mes colles (tiré d'un oral de Cachan 2006) et je ne vois pas trop comment l'attaquer.

Soient $f$ une application $\mathcal{C}^2$ de $\R^2$ dans $\R$, et $E$ l'ensemble des fonctions $\mathcal{C}^2$ de $[0;1]$ dans $\R$ telles que $g(0) = a$ et $g(1) = b$ ($a$ et $b$ deux réels fixés), et on définit sur $E$ l'application $\Phi$ par : $\ds \Phi(g) = \int_0^1 f\big( g(t) , g'(t) \big) \mathrm{d} t$.

Soit $g_0$ un éventuel minimum de $\Phi$. Donner une équation différentielle vérifiée par $g_0$.

Le problème étant déjà que comme $E$ est fermé d'intérieur vide (dirait-on, je vais creuser cet aspect dès que j'ai 5 minutes), dire que $g_0$ est un minimum n'implique pas forcément que $D\Phi_{g_0}$ est nulle.

J'ai creusé quelques pistes, sans résultat excitant. Je ne les donne pas pour pas polluer.

Remarque : je cite l'énoncé de mémoire, j'ai peut-être oublié une hypothèse, n'hésitez pas à en rajouter.
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OG
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

Bonjour

La question de $E$ d'intérieur vide ne joue pas, c'est histoire de se fixer des conditions sur le bord à mon avis. On peut supposer $a=b=0$ en retranchant $a+x(b-a)$ et là c'est E.V. ou voir l'espace initial comme un espace affine.
Sans utiliser vraiment que c'est un minimum mais avec le fait que c'est un extremum (tout de même) j'obtiens (il me semble) une relation différentielle (cas $a=b=0$)

$$f_x(g(t),g'(t))-g'(t)f_{xy}(g(t),g'(t))-g''(t)f_{yy}(g(t),g'(t))=0$$

Mais à la vue de cette expression j'ai un doute !

Cordialement
O.G.
Dernière modification par OG le jeudi 07 février 2008, 22:16, modifié 1 fois.

OG
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

Je laisse le message précédent même s'il est faux !
Après quelques doses de caféine et vu qu'il n'y a pas d'hypothèse de convexité ou autre sur la fonction $f$, peut-être faut réécrire le problème par : si on connaît $g''$, $g(0)=a$, $g(1)=b$ alors on connaît entièrement $g$, d'où écrire $\Phi(g)=\Phi\circ\Delta^{-1}(g'')$ où $\Delta^{-1}$ résout le problème de Dirichlet non homogène correspondant. Certainement un peu pénible à écrire (une intégrale de plus à l'intérieur).

Cordialement
O.G.

Tryphon
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Re: Un exo d'optimisation

Message par Tryphon »

Je croyais que t'aurais pas le temps avant le week-end ? :mrgreen:

Promis, je regarde ça dimanche, là j'ai trop de trucs à faire...
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OG
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

bonsoir

j'avais une 60taine de copies mais entre deux on peut se faire plaisir.
En fait ce que j'ai dit est vrai, sauf qu'en faisant le changement de $g(x)-(a+x(b-a))$ on complique le pb : $f$ se transforme en une fonction à 3 variables.
Pour l'exemple que tu m'as donné, je trouve une équation différentielle pour laquelle (plus ou moins dans le cas simple $a=b=\cosh(1)$) la caténoide est solution.

bon courage
O.G. qui doit retourner à ses copies

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Re: Un exo d'optimisation

Message par guiguiche »

[troll] tiens, il y a des copies à corriger à la fac ? :mrgreen: [/troll]
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

guiguiche a écrit :[troll] tiens, il y a des copies à corriger à la fac ? :mrgreen: [/troll]
Des fois je fais presque de l'enseignement !
Bref des fois je travaille !(oui faire des maths ça ne compte pas)

Cordialement
O.G.

edition : un message extra qui me fait passer au 300ème message !
Dernière modification par OG le jeudi 07 février 2008, 22:23, modifié 1 fois.

guiguiche
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Re: Un exo d'optimisation

Message par guiguiche »

OG a écrit :(oui faire des maths ça ne compte pas)
De fait, faire des maths, c'est jouer, on est bien d'accord.

Edit : tu ne m'en veux pas Tryphon si je pourris ton topic ? :mrgreen:
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

Je pense demander une décharge d'enseignement de 50 heures pour "assiduité à Mathematex" dans le cadre du plan réussite en licence.

O.G.
(dernier message avant d'être banni)

guiguiche
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Re: Un exo d'optimisation

Message par guiguiche »

OG a écrit :dans le cadre du plan réussite en licence.
Au fait, c'est quoi ce plan (c'est la deuxième fois que tu en parles) ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

guiguiche a écrit :
OG a écrit :dans le cadre du plan réussite en licence.
Au fait, c'est quoi ce plan (c'est la deuxième fois que tu en parles) ?
Je vois que certains font attention.
Il faut suivre un peu l'actualité, LRU, rumeurs sur capes-agreg (les présidents d'université ont eu leur loi, pas de raison que ce ne soit pareil pour les présidents d'IUFM), plan campus annoncé hier par V.P. (10 projets universitaires rénovation...), casse de la recherche française et le plan réussite en licence (enseignant référant, orientation active, des heures de soutien, des enseignants-chercheurs faisant la pub dans les lycées... tout cela uniquement sur des crédits d'heures supp (et encore on vous proposera une prime mais de combien : mystère) donc difficile de trouver des personnes volontaires (n'oublions pas le côté chercheur de l'enseignant-chercheur).

bonne nuit
O.G.

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Re: Un exo d'optimisation

Message par guiguiche »

OG a écrit :des enseignants-chercheurs faisant la pub dans les lycées...
On fait ça en prépa, bénévolement (en tout cas chez nous), depuis plusieurs années (j'en ai encore fait une ce soir plus une autre demain après-midi). En plus, avec la volonté ministérielle de mettre quasiment d'office les 5% des meilleurs élèves en prépa (sans compter tous les autres qui postuleront), vos démarches vont être rentables :roll:

Je ne suis pas d'assez près l'actualité. Rumeurs fondées sur capes/agreg ? à quelle échéance ?
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Re: Un exo d'optimisation

Message par Arnaud »

guiguiche a écrit :Rumeurs fondées sur capes/agreg ? à quelle échéance ?
T'es pas au courant ?
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p ... msg-420634
Arnaud
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Re: Un exo d'optimisation

Message par guiguiche »

Si, j'avais lu. Mais j'aime bien avoir d'autres sons de cloches.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

bonjour

Comme je le disais : rumeurs. J'avais lu le rapport des présidents d'iufm et tout comme la LRU a été une demande des présidents d'université qui va dans le sens de la politique actuelle, on peut faire le parallèle. J'ai tout de même un doute sur l'agreg, il faut une voie pour les profs de prépa. Tout ce que je sais c'est que dans certains iufm on planche effectivement sur des maquettes de master enseignement.

Concernant le suivi des étudiants, présenter les filières universitaires dans les lycées... je ne suis pas contre évidemment. Quelques étudiants ou ex-étudiants me posent des questions (de maths) par mail ou à mon bureau et je leur réponds (de même sur un de leur forum). Il faut cependant voir la dualité enseignement/recherche (et administration) de notre métier et qu'évidemment seule la recherche compte pour la carrière. Donc du temps à faire de la comm c'est du temps en moins à chercher. Le plan réussite en licence a été annoncé depuis le haut, à mettre en place dans les plus brefs délais si possible 2nd semestre donc là tout de suite maintenant au pire en septembre 2008 !

bonne journée à toutes et à tous
O.G.

Arnaud
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Re: Un exo d'optimisation

Message par Arnaud »

Mardi soir, le ministère de l'Education nationale a cherché à rassurer les quelque 250.000 candidats qui planchent actuellement sur la préparation des Capes, agrégations et autres concours de professeurs des écoles en assurant que les principaux concours "ont vocation à persister".

"Le principe de recrutement par concours des agrégés et des certifiés, il n'y a pas de raison qu'il disparaisse", a-t-on ajouté dans l'entourage du ministre Xavier Darcos, tout en reconnaissant qu'il y aurait une "évolution dans la formation".

Le ministère de la Fonction publique a de son côté précisé qu'il n'y avait "pas de calendrier spécifique à ce stade" pour cette réforme, mais que "tout serait fait pour tenir compte des candidats qui préparent les épreuves depuis longtemps".
Source : http://www.vousnousils.fr/page.php?P=da ... 5dyi8l.xml
Arnaud
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Re: Un exo d'optimisation

Message par OG »

Bonsoir

Je pensais qu'il y avait du nouveau pour l'exercice.
Cette nouvelle va redonner le moral à mes étudiants.
Cordialement
O.G.

Arnaud
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Re: Un exo d'optimisation

Message par Arnaud »

Effectivement, c'est pas forcément le meilleur endroit pour poster mon message, mais comme c'était le seul endroit où l'on avait discuté de ces réformes...
Arnaud
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