Applications linéaires

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celia

Applications linéaires

Message non lu par celia »

Bonsoir, j'ai un problème avec cet exercice:
Soit f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que: $|rg f-rg g| {} \, \leq \, {} rg(f+g) {} \, \leq \, {} rg f+ rg g$
Notre prof nous a donné des indications:
1ére inégalité : f=f+g-g...
2ème inégalité : comparer Im(f+g) avec Im f+ Img puis passer aux dimensions et utiliser la formule de Grassman.

Pour la 1ère inégalité, je ne vois pas du tout comment exploiter l'indication
pour la 2ème inégalité, j'ai:
Im(f+g) inclus dans Im f+Img
d'où $dim (Im (f+g)) {} \, \leq \, {} dim ( Im f+Im g)$
$rg (f+g) {} \, \leq \, {} rg f + rg g - dim (Im f {} \, \cap \, {} Im g)$ en appliquant la fomule de Grassman, mais comment montrer que $dim (Im f {} \, \cap \, {} Im g)$ est nulle?

Merci d'avance pour votre aide
sotwafits

Re: Applications linéaires

Message non lu par sotwafits »

celia a écrit :Bonsoir, j'ai un problème avec cet exercice:
Soit f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que: $|rg f-rg g| {} \, \leq \, {} rg(f+g) {} \, \leq \, {} rg f+ rg g$
Notre prof nous a donné des indications:
1ére inégalité : f=f+g-g...
2ème inégalité : comparer Im(f+g) avec Im f+ Img puis passer aux dimensions et utiliser la formule de Grassman.
Qu'appelles-tu formule de Grassman ? C'est celle qui donne la dimension de la somme ?
Je n'avais jamais entendu de cette formule.
Pour la 1ère inégalité, je ne vois pas du tout comment exploiter l'indication
Il faut d'abord avoir montré la 2ème inégalité, et l'appliquer à $(f+g)+(-g)$
pour la 2ème inégalité, j'ai:
Im(f+g) inclus dans Im f+Img
d'où $dim (Im (f+g)) {} \, \leq \, {} dim ( Im f+Im g)$
$rg (f+g) {} \, \leq \, {} rg f + rg g - dim (Im f {} \, \cap \, {} Im g)$ en appliquant la fomule de Grassman, mais comment montrer que $dim (Im f {} \, \cap \, {} Im g)$ est nulle?
Pourquoi veux-tu montrer que $dim (Im f {} \, \cap \, {} Im g)$ est nulle ?
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