Deux petites questions sur mon cours de sup

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pouik
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Deux petites questions sur mon cours de sup

Message par pouik »

Bonjour,
Je suis en pleine révision de mon cours de sup et je m'apercois qu'il y a plusieurs choses que je n'ai pas compris. Pouvez vous m'expliquer ?? Merci d'avance.
- que représente la dérivation suivant un vecteur :? :?
- et enfin, je ne comprends pas à quoi sert la proposition suivante :

Proposition : $f$ endomorphisme.
Si $G$ est un supplémentaire de $Ker$ $f$ alors $f$ induit un isomorphisme de $G$ sur $Im$ $f$.
EricK
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par EricK »

pouik a écrit :Bonjour,
Je suis en pleine révision de mon cours de sup et je m'apercois qu'il y a plusieurs choses que je n'ai pas compris. Pouvez vous m'expliquer ?? Merci d'avance.

- et enfin, je ne comprends pas à quoi sert la proposition suivante :

Proposition : $f$ endomorphisme.
Si $G$ est un supplémentaire de $Ker$ $f$ alors $f$ induit un isomorphisme de $G$ sur $Im$ $f$.
Cette proposition permet de démontrer la formule du rang.

On peut voir les choses d'une autre façon. Soit $f\colon E\to F$ une application de l'ev $E$ de dim finie $n$ dans l'ev $F$ et soit $e_1,\dotsc,e_k$ une base de $\mathrm{Ker}\,f$ que l'on complète avec les vecteurs $e_{k+1},\dotsc,e_n$ en une base de $E$. Prouve que $f(e_{k+1}),\dotsc,f(e_n)$ est une base de $\mathrm{Im}\,f$. De là, on en déduit à nouveau la formule du rang. La démo de ton cours est sans calcul, celle que je t'indique entièrement calculatoire.
pouik
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par pouik »

Merci,
mais donc a part pour démontrer le theoreme du rang, ca ne sert à rien. Par ce qu'a vrai dire je ne vois pas comment je pourrais utiliser ce resultat dans un exo. Non ??
pouik
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par pouik »

Bonjour,
non personne n'a d'idées ?? car j'ai beau réflechir je ne comprends toujours pas !!

Merci d'avance.
guiguiche
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par guiguiche »

Pour la dérivée selon un vecteur $\vec{u}$ en un point $A$ : imagine ta surface représentative (cas d'une fonction de deux variables) de $f$, découpe là selon un plan vertical, contenant $\vec{u}$ et passant par $A$, considère la ligne de découpe (courbe représentative d'une fonction $g$ dans un certain repère) et alors, la dérivée de $f$ selon $\vec{u}$ en $A$ est le nombre dérivé de $g$ en le point "associé" à $A$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
pouik
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par pouik »

Bonjour,
Désolé mais je ne comprends pas du tout, est-ce que deja on considère que notre surface est horizontale, ou non ?
guiguiche a écrit :Pour la dérivée selon un vecteur $\vec{u}$ en un point $A$ : imagine ta surface représentative (cas d'une fonction de deux variables) de $f$, découpe là selon un plan vertical, contenant $\vec{u}$ et passant par $A$, considère la ligne de découpe (courbe représentative d'une fonction $g$ dans un certain repère) et alors, la dérivée de $f$ selon $\vec{u}$ en $A$ est le nombre dérivé de $g$ en le point "associé" à $A$.
Merci d'avance pour votre aide.
guiguiche
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par guiguiche »

Non, la surface n'est pas horizontale. Je me place dans la situation dans laquelle il y a deux variables x et y. Ainsi les points de départ et le vecteur unitaire considéré sont dans le plan $\R^2$. Considère alors la droite passant par un point $A(x_A,y_A)$ et de direction $\vec{u}$ (unitaire) : cela va te donner l'axe des abscisses dont je te parlais (les points de cette droite peuvent être paramétrés par un réel t). Considère ensuite l'ensemble des images de ces points : on a alors les réels $g(t)=f(A+t\vec{u})$ c'est à dire que tu découpe ta surface représentative de $f$ verticalement dans la direction de ta droite et la courbe représentative de la fonction $g$ est la ligne de découpe obtenue. De plus :
$$f'_{\vec{u}}(A)=g'(0)$$
(l'origine des graduations sur la droite est placée en $A$).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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pouik
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par pouik »

Je comprends tout ceci :
guiguiche a écrit :Non, la surface n'est pas horizontale. Je me place dans la situation dans laquelle il y a deux variables x et y. Ainsi les points de départ et le vecteur unitaire considéré sont dans le plan $\R^2$. Considère alors la droite passant par un point $A(x_A,y_A)$ et de direction $\vec{u}$ (unitaire) : cela va te donner l'axe des abscisses dont je te parlais (les points de cette droite peuvent être paramétrés par un réel t). Considère ensuite l'ensemble des images de ces points : on a alors les réels $g(t)=f(A+t\vec{u})$
mais vraiment l'histoire du découpage je ne vois pas... :cry:
guiguiche
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Re: 2 petites questions sur mon cours de sup

Message par guiguiche »

Tu t'imagine avec une scie dans les mains : elle doit passer le long de la droite tout en restant verticale. Une fois la chute tombée regarde le bord de ta découpe, c'est la courbe de ta fonction $g$.
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acid24

Re: Deux petites questions sur mon cours de sup

Message par acid24 »

Pour le théorème d'algebre, (qui pour moi est fondamental !! ) je tente une proposition d'exo :
Montrer qu'il existe, pour n>1, un unique polynome $ P \in R_n[X]$ vérifiant $ P(X+1) -P(X) = X^{n-1} -1$ et $P(0)=0 $