Matrices inversibles

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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MT
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Matrices inversibles

Message par MT »

Bonjour,
J'ai un exo à faire pour demain, mais l'ennui, c'est que je ne sais même pas par où commencer. Je vous en serais très reconnaissant si vous pouviez me donner quelques indices...

Voilà l'énoncé :
Soit $ A\in \mathcal{M}_n (\mathbb{C}) $ telle que $ \forall i \in [[1,n]] \qquad |a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij} |$
Montrer que A est inversible
Ce que je vois, c'est que la diagonale n'est pas nulle...ça laisse peut-être de l'espoir :?

Merci
La physique n'est pas un art divinatoire. Tout résultat énoncé doit avoir été démontré, non balancé comme prédit par un oracle !
(P.-J. Mercier, professeur de sciences physiques en classe de mathématiques supérieures)

guiguiche
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Re: matrices inversibles

Message par guiguiche »

Par l'absurde : une combinaison linéaire des colonnes est la colonne nulle.
A toi de jouer.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

themoskito
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Re: matrices inversibles

Message par themoskito »

Peut être plus simple (enfin je trouve^^ après tu fais ton choix)
Par contraposition : Suppose $A$ non inversible et montre qu'il existe $i_0$ vérifiant $|a_i_0_i_0| \le \sum_{k<>i_0}|a_i_0_k|$
Si $A$ non inversible, alors $0$ est valeurs propres donc il existe $X$ non nul tel que $AX=0$ ...
Dernière modification par themoskito le lundi 03 mars 2008, 23:23, modifié 1 fois.

guiguiche
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Re: matrices inversibles

Message par guiguiche »

Ah oui, j'avais un peu oublié cet exo.
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