La notion de PGCD

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Invité

La notion de PGCD

Message par Invité »

Je ne comprends rien au P.G.C.D : aidez moi :(

[EDIT: MB] Déplacement du post et correction orthographique.

Nightmare
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Message par Nightmare »

je ne suis pas sur que ce soit le bon endroit pour poster ce message :roll:

La notion de PGCD n'est pas compliqué . Dans la division euclidienne d'un nombre a par un nombre b , il y a deux cas :
1- Il y a un reste non nul , par exemple 15 divisé par 2 donne 7 et il reste 1
2- Il y a un reste nul , par exemple 24 divisé par 4 donne 6 et il reste 0

Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul , on dit que b divise a ou que b est un diviseur de a.

Ainsi , certains nombres admettent 2 ou plusieur diviseur.
Par exemple :
14 admet comme diviseur 1 , 2 , 7 et 14
28 admet comme diviseur 1 , 2 , 4 , 7 , 14 et 28
13 admet comme diviseur 1 et 13
1 s'admet pour unique diviseur

On voit que certains de ces nombres ont des diviseurs commun .
Par exemple , 14 et 28 ont pour diviseur commun 2 , 4 , 7 et 14 . Parmis ces diviseurs commun, il en existe un qui est plus grand que les autres, et il s'appelle le PGCD.
Dans le cas de 14 et 28 , c'est 14 . On notera alors PGCD(14;28 )=14 (ce qui est logique puisque 14 divise 28 ).

Voila , c'est une approche de la notion, ensuite il existe des algorithmes (algorithme d'euclide par exemple) pour calculer ces PGCD et des techniques telles que la division en élément simple.

J'éspére déja avant de te lancer dans l'apprentissage de ces techniques que tu as compris les bases de la notion grace à mon explication.

:)
Jord
Dernière modification par Nightmare le mercredi 15 juin 2005, 19:16, modifié 3 fois.
"On se souviendra d'archiméde lorsqu'on aura oublié Eschyle , parce que les langues meurent , mais pas les idées mathématiques . "Immortalité" est un mot creux , mais un mathématicien aura plus de chance d'en jouir qu'un autre"

Nightmare
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Message par Nightmare »

Merci aux modos pour le déplacement ;)

:)
jord
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MB
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Message par MB »

Nightmare a écrit :Merci aux modos pour le déplacement ;)
De rien, merci à toi pour la réponse. (et pour l'instant, il n'y a pas de modérateurs sur ce forum ... pas encore vraiment besoin ... mais quand le besoin se fera sentir (et si tu es motivé) je te solliciterais sans doute). Au fait, pourquoi tu mets toujours des espaces à droite et à gauche de tous les signes de ponctuation ?
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Nightmare
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Message par Nightmare »

Hum ce sera avec plaisir , et puis j'ai déja de l'experience avec l'île ;)

Pour ce qui est des signes de ponctuations , je ne m'en suis jamais rendu compte , du moment que ça ne crée pas un bug dans les serveurs ce n'est pas grave si ? :P

:)
Jord
"On se souviendra d'archiméde lorsqu'on aura oublié Eschyle , parce que les langues meurent , mais pas les idées mathématiques . "Immortalité" est un mot creux , mais un mathématicien aura plus de chance d'en jouir qu'un autre"

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Message par MB »

Nightmare a écrit :Pour ce qui est des signes de ponctuations , je ne m'en suis jamais rendu compte , du moment que ça ne crée pas un bug dans les serveurs ce n'est pas grave si ?
Non, c'est pas grave. Je me demandais juste si c'était volontaire ou non, car ça fait parfois bizarre de voir un . seul en début de ligne (qd lernier mot tient tout juste dans la fenêtre, le point se retrouve seul à la ligne).
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Message par Nightmare »

Il faut dire que j'ai toujours ma fenêtre firefox en plein écran donc je ne vois en général pas les points seul sur une ligne ;)

Et puis à mon age , j'ai pas encore eu l'habitude de taper des textes officiels , des C.V ou autre donc je n'ai jamais réellement apris comment placer la ponctuation . Je me souviens juste que word fait la remarque lorsqu'on espace un point ou une virgule du mot :D

:)
Jord
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Message par MB »

Nightmare a écrit :Je me souviens juste que word fait la remarque lorsqu'on espace un point ou une virgule du mot :D
Et Word a bien raison sur ce coup là !
Sinon moi aussi je suis en plain écran avec Firefox, mais le cas du point seul à la ligne s'est déjà présenté.
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Message par Nightmare »

C'est bien une des rares fois où Word à raison :P

En vérité moi je ne relis quasiment jamais mes posts , je relis juste la phrase que je suis en train d'écrire . Et comme la fenêtre où l'on écrit le message est différente de celle où on le post je ne remarque pas les petits points "alone" ;)

Sur ce , je pense que le sujet va se clore car je crois qu'on pollue un peu le topic sur le PGCD :roll: :P

:)
Jord
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Message par MB »

Nightmare a écrit :Sur ce , je pense que le sujet va se clore car je crois qu'on pollue un peu le topic sur le PGCD :roll: :P
Oui, et ce n'est pas très important de plus.
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Petite Souris
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Message par Petite Souris »

Nightmare, la définition que tu donnes du PGCD est juste si a et b sont non nuls. Mais j'aimerais savoir comment on définit PGCD(0,0).
Merci beaucoup pour vos réponses !

Nightmare
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Message par Nightmare »

La notion de PGCD s'étant à tout les nombres relatifs non nul donc PGCD(0;0) n'a aucun sens (ce qui est logique puisque 0 admet une infinité de diviseur)

:)
Jord
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Petite Souris
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Message par Petite Souris »

Encore moi avec une nouvelle question ! désolée si je vous embête mais je prépare le CAPES et je préfère avoir les idées bien claires alors je profite de vos connaissances ! :)
Alors je suis OK pour PGCD(0,0) qui est un non sens. Mais PGCD(a,0) avec a non nul ? ça existe ? Et si oui il vaut a ?
Merci d'avance !

nirosis
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Message par nirosis »

Oui ça vaut a en toute logique !

Concernant $pgcd(0,0)$ on pourrait le définir ainsi : $pgcd(0,0)=+\infty$
Disons qu'on peut travailler dans $\mathbb{N} \cup \{+\infty \}$

Nightmare
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Message par Nightmare »

Je ne sais pas ... Ca peut amener à un débat tout comme on pourrait débattre sur la valeur de $0^{0}$ . Logiquement on a bien PGCD(a;0)=a , mais conventionnelement je ne sais pas . J'ai regardé dans 5 de mes livres et tous indique le PGCD ne s'applique qu'a des entiers non nul ...

Désolé de ne pas pouvoir vous apporter plus :oups:
Jord
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Message par Nightmare »

Dans ce cas là nirosis , PGCD étant une fonction , on dirait plutot :

$\lim_{(x;y)\to (0,0)} PGCD(x;y)=+\infty$
et de même :
$\lim_{y\to 0} PGCD(x;y)=x$
Sans y être continue

:)
Jord
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Message par Nightmare »

Hum non , ça me parait trop bizarre d'écrire cela . De toute façon PGCD est une fonction définie sur Z* (ou Z ...) donc la notion de limite .... ;)

:)
Jord
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nirosis
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Message par nirosis »

Nightmare a écrit :Dans ce cas là nirosis , PGCD étant une fonction , on dirait plutot :

$\lim_{(x;y)\to (0,0)} PGCD(x;y)=+\infty$
et de même :
$\lim_{y\to 0} PGCD(x;y)=x$
Sans y être continue

:)
Jord
Sauf que je ne sais pas faire des limites vers 0 quand j'ai une fonction sur $\mathbb{Z}$ ! Ca n'a pas de sens pour la "fonction" PGCD.

Le problème se rapproche en effet plus de $0^0$. A un moment donné, suivant le contexte, il faut faire des conventions.

[edit] voilà tu t'es corrigé tout seul :wink:

Nightmare
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Message par Nightmare »

Selon mon frére , la définition "officielle" du PGCD est :

Pour tout x de $\mathbb{Z}$ , il existe un entier d tel que si x|a et si x|b alors x|d . d est alors le PGCD(a,b) .
Avec cette définition on obtient PGCD(0,0)=0

:)
Jord
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Message par Nightmare »

Autant pour moi , c'est plutot :

Il existe un unique d tel que pour tout x de $\mathbb{Z}$ , x|a et x|b si et seulement si x|d .
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